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デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、英: Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である[1]。
ヤコビの三重積の公式により、
となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
であればであるから、
である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、が有理数であればであるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。
イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて
である。また、
である。
テータ関数の虚数変換式により
であるが、が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、
である。また、
であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。
実際、モジュラー判別式の定数倍と一致する[2]。
イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 について関数等式
が成り立つ。は
により求められる[3]。ここではデデキント和(英語版)
をあらわす。
- ^ Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function
- ^ Apostol (1990, pp. 50–51, Chapter 3.3)
- ^ Apostol (1990, pp. 51–53, Chapter 3.4)