トムセンの定理

トムセンの定理$P_{7}=P_{1}$

トムセンの定理（トムセンのていり、英: Thomsen's theorem）は、ゲルハルト・トムセンに因んで命名された初等幾何学の定理である。三角形の辺に平行な線から成る折線は閉曲線となることを主張する。

△ABCの辺（またはその延長）BC上に点P₁をとる。P₁を通りCAと平行な直線とABの交点をP₂、P₂を通りBCと平行な直線とCAの交点をP₃、P₃を通りABと平行な直線とBCの交点をP₄、P₄を通りCAと平行な直線とABの交点をP₅、P₅を通りBCと平行な直線とCAの交点をP₆とする。P₆を通りABと平行な直線とBCの交点はP₁である。つまり折れ線P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₁は閉じる。また、いづれかの点が辺の中点である場合、その連鎖の長さは3になる

またP₁,P₂,P₃,P₄,P₅,P₆は同一楕円上にある。

$k={\frac {BP_{1}}{BC}}={\biggl (}{\frac {CP_{2}}{CA}}={\frac {AP_{3}}{AB}}{\biggr )}$

としてその面積は

${\frac {4\pi }{3k^{2}-3k+1}}S$

である。ただしSは三角形の面積。楕円の中心は三角形の重心。k=1/2のときシュタイナーの内接楕円、k=0,1のときシュタイナーの外接楕円である。

出典

• Satz von Thomsen In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, pp. 358–359 (German)

関連項目

• パップスの定理
• タッカー円
• 三角形の円錐曲線

外部リンク

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (German)
• Weisstein, Eric W. "Thomsen's Figure". mathworld.wolfram.com (英語).
• Thomsen's Figure at Wolfram Demonstrations Project.