パラメタtにおけるタッカー円（茶）、外接円（紫）、第一ルモワーヌ円（緑）、第二ルモワーヌ円（赤）第三ルモワーヌ円（橙）、六点円（青） タッカー円 （タッカーえん、英 : Tucker circles ）[ 1] [ 2] 幾何学 において、ロバート・タッカー の名を冠する三角形の円 （ドイツ語版 ） タッカー円の群 またはタッカー属 とも言われる[ 3] [ 4] [ 5] 外接円 、 第一ルモワーヌ円 （ドイツ語版 ） 第二ルモワーヌ円 （ドイツ語版 ） 第三ルモワーヌ円 （ドイツ語版 ） テイラー円 などがある。
辺の平行線、逆平行線からなるタッカー六角形とその外接円タッカー円（赤）。 三角形 の辺またはその延長上のある点から、他の辺の平行線 か逆平行線 を引く。その直線 と3つめの辺（またはその延長）から、次の辺の、平行線と逆平行線のうち、先とは異なる方の直線を引き、別の辺との交点を取る。この操作を延べ6回繰り返して得た点は最初に決めた点と一致する。また、6回の操作の中で得た6点は共円 である（タッカーの定理[ 5]
具体的に書けば、
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
A
B
{\displaystyle AB}
Q
c
{\displaystyle Q_{c}}
Q
c
{\displaystyle Q_{c}}
A
C
{\displaystyle AC}
B
C
{\displaystyle BC}
P
a
{\displaystyle P_{a}}
P
a
{\displaystyle P_{a}}
A
B
{\displaystyle AB}
A
C
{\displaystyle AC}
Q
b
{\displaystyle Q_{b}}
Q
b
{\displaystyle Q_{b}}
B
C
{\displaystyle BC}
A
B
{\displaystyle AB}
P
c
{\displaystyle P_{c}}
P
c
{\displaystyle P_{c}}
A
C
{\displaystyle AC}
B
C
{\displaystyle BC}
Q
a
{\displaystyle Q_{a}}
Q
a
{\displaystyle Q_{a}}
A
B
{\displaystyle AB}
P
b
{\displaystyle P_{b}}
P
b
{\displaystyle P_{b}}
B
C
{\displaystyle BC}
A
B
{\displaystyle AB}
Q
c
{\displaystyle Q_{c}}
Q
c
P
a
Q
b
P
c
Q
b
P
b
Q
c
{\displaystyle Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}Q_{c}}
同一円周上にある 。
この円をタッカー円といい、文中の平行線と逆平行線を辺とする六角形をタッカー六角形（Tucker hexagon）という[ 6] [ 7] ルモワーヌ六角形 の一般化である。
タッカー円とタッカー六角形（茶） 直線
K
O
{\displaystyle KO}
以下では、基準三角形
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
K
{\displaystyle K}
類似重心 、
O
{\displaystyle O}
外心 、 タッカー六角形を
Q
c
P
a
Q
b
P
c
Q
b
P
b
{\displaystyle Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}}
Q
c
P
a
,
Q
b
P
c
,
Q
a
P
b
{\displaystyle Q_{c}P_{a},Q_{b}P_{c},Q_{a}P_{b}}
T
{\displaystyle T}
L
{\displaystyle L}
A
K
{\displaystyle AK}
Q
b
P
c
{\displaystyle Q_{b}P_{c}}
M
{\displaystyle M}
B
K
{\displaystyle BK}
Q
c
P
a
{\displaystyle Q_{c}P_{a}}
N
{\displaystyle N}
C
K
{\displaystyle CK}
Q
a
P
b
{\displaystyle Q_{a}P_{b}}
H
a
,
H
b
,
H
c
{\displaystyle H_{a},H_{b},H_{c}}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
頂垂線 の垂足と定義する。
三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺の長さは等しい。つまり
|
Q
b
P
c
|
=
|
Q
c
P
a
|
=
|
Q
a
P
b
|
{\displaystyle |Q_{b}P_{c}|=|Q_{c}P_{a}|=|Q_{a}P_{b}|}
頂点と類似重心を結ぶ直線によって二等分 される[ 7]
|
Q
b
L
|
=
L
P
c
|
=
|
Q
c
M
|
=
|
M
P
a
|
=
|
Q
a
N
|
=
|
N
P
b
|
{\displaystyle |Q_{b}L|=LP_{c}|=|Q_{c}M|=|MP_{a}|=|Q_{a}N|=|NP_{b}|}
三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する垂心三角形
△
H
a
H
b
H
c
{\displaystyle \triangle H_{a}H_{b}H_{c}}
平行 である[ 8]
Q
b
P
c
∥
H
b
H
c
,
Q
c
P
A
∥
H
c
H
a
,
Q
a
P
b
∥
H
a
H
b
{\displaystyle Q_{b}P_{c}\parallel H_{b}H_{c},Q_{c}P_{A}\parallel H_{c}H_{a},Q_{a}P_{b}\parallel H_{a}H_{b}}
△
L
N
M
{\displaystyle \triangle LNM}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
K
{\displaystyle K}
相似 である[ 7]
|
K
L
|
|
K
A
|
=
|
K
M
|
|
K
B
|
=
|
K
N
|
|
K
C
|
{\displaystyle {\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}}
三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する頂点と外心を結ぶ直線と直交 する[ 7]
Q
b
P
c
⊥
A
O
,
Q
c
P
a
⊥
B
O
,
Q
a
P
b
⊥
C
O
{\displaystyle Q_{b}P_{c}\perp AO,Q_{c}P_{a}\perp BO,Q_{a}P_{b}\perp CO}
タッカー円の中心
T
{\displaystyle T}
K
O
{\displaystyle KO}
|
K
T
|
|
K
O
|
{\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
△
L
N
M
{\displaystyle \triangle LNM}
[ 7]
|
K
T
|
|
K
O
|
=
|
K
L
|
|
K
A
|
=
|
K
M
|
|
K
B
|
=
|
K
N
|
|
K
C
|
{\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}={\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}}
タッカー六角形
Q
c
P
a
Q
b
P
c
Q
b
P
b
{\displaystyle Q_{c}P_{a}Q_{b}P_{c}Q_{b}P_{b}}
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
Q
b
=
P
c
=
A
,
Q
c
=
P
a
=
B
,
Q
a
=
P
b
=
C
{\displaystyle Q_{b}=P_{c}=A,Q_{c}=P_{a}=B,Q_{a}=P_{b}=C}
タッカー円を線分
Q
b
P
c
{\displaystyle Q_{b}P_{c}}
媒介変数 として表す。
t
=
{
|
Q
b
P
c
|
,
(
A
∉
P
c
B
)
−
|
Q
b
P
c
|
,
(
A
∈
P
c
B
)
{\displaystyle t={\begin{cases}\ \ \,|Q_{b}P_{c}|,&(A\notin P_{c}B)\\-|Q_{b}P_{c}|,&(A\in P_{c}B)\end{cases}}}
タッカー円の半径は
t
{\displaystyle t}
[ 8]
R
(
t
)
=
t
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
a
2
c
2
)
−
t
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
a
b
c
+
a
2
b
2
c
2
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle R(t)={\sqrt {\frac {t^{2}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-t(a^{2}+b^{2}+c^{2})abc+a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}
代表的な値の場合を以下の表に載せた[ 8]
タッカー円
パラメタ
外接円
t
=
0
{\displaystyle t=0}
第一ルモワーヌ円
t
=
a
b
c
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle t={\frac {abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
第ニルモワーヌ円
t
=
2
a
b
c
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle t={\frac {2abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
第三ルモワーヌ円
t
=
3
a
b
c
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle t={\frac {3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
六点円
t
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
a
b
c
{\displaystyle t={\frac {1}{4}}{\frac {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{abc}}}
アポロニウス円
t
=
−
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle t=-{\frac {a+b+c}{2}}}
比
t
=
|
K
T
|
|
K
O
|
{\displaystyle t={\frac {|KT|}{|KO|}}}
半径は、ωをブロカール角 として
R
T
=
R
t
2
+
(
1
−
t
)
2
tan
2
ω
{\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {t^{2}+(1-t)^{2}\tan ^{2}\omega }}}
タッカー円
パラメタ
外接円
t
=
1
{\displaystyle t=1}
第一ルモワーヌ円
t
=
1
2
{\displaystyle t={\frac {1}{2}}}
第ニルモワーヌ円
t
=
0
{\displaystyle t=0}
剣持円
t
=
S
S
+
1
2
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle t={\tfrac {S}{S+{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}}
面積 ）
ゲラトゥリ円
t
=
sin
2
ω
{\displaystyle t=\sin ^{2}\omega }
六点円
t
=
−
cos
A
^
cos
B
^
cos
C
^
{\displaystyle t=-\cos {\hat {A}}\cos {\hat {B}}\cos {\hat {C}}}
アポロニウス円
t
=
p
(
p
2
−
r
2
)
a
b
c
{\displaystyle t={\frac {p(p^{2}-r^{2})}{abc}}}
内半径 、pは半周長 ）
ルモワーヌ点[ 註 1] 四面体 （等力四面体 ）にも、同様にしてタッカー円の類似物、タッカー球 を作ることができる。
等力四面体A 1 A 2 A 3 A 4 B 1 B 2 B 3 B 4 B 2 B 3 B 4 A 1 A 2 ,A 1 A 3 , A 1 A 4 B 3 B 4 B 1 A 2 A 1 ,A 2 A 3 , A 2 A 4 B 4 B 1 B 2 A 3 A 1 ,A 3 A 2 , A 1 A 4 B 1 B 2 B 3 A 4 A 1 ,A 4 A 2 , A 4 A 3 球 をタッカー球と言う[ 9]
^ 窪田忠彦 『近世幾何学』岩波書店 、1947年、118頁。doi :10.11501/1063410 。 ^ るーしぇ , こんぶるーす 著、小倉金之助 訳『初等幾何學 第1卷 平面之部』山海堂出版部 、1919年。doi :10.11501/1082035 。 ^ 森本清吾 『近世幾何学』積善館 、1929年、71頁。doi :10.11501/1171033 。 ^ ジョン・ケージー 著、山下安太郎 , 高橋三蔵 訳『幾何学続編』有朋堂 、1909年。doi :10.11501/828521 。 ^ a b 長沢亀之助 『幾何学辞典 : 問題解法 続』長沢亀之助、1912年、556頁。doi :10.11501/952919 。
^ Roger A. Johnson : Advanced Euclidean Geometry . Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry )^ a b c d e Ross Honsberger : Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry . MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat )
^ a b c d Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles . In: Forum Geometricorum Digitalisat )
^ るーしぇ , こんぶるーす 『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂出版部 、1915年、928頁。doi :10.11501/1082037 。
^ 四面体とその頂点の外接球に対する接面が成す四面体が配景である、または対面のルモワーヌ点と頂点を結ぶ直線が共点であるとき、その点を四面体のルモワーヌ点という。
Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry . Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry )
A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks . Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 53–67
Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry . MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat )
Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles . In: Forum Geometricorum Digitalisat )
Traian Lalescu, Trajan Lalesco『La géometrie du triangle』Librairie Vuibert、1952年。ISSN 1220-5605 。 Sortais, Yvonne et René『La géométrie du triangle : exercices resolus』Hermann、1997年。ISBN 9782705614294 。 François Lobit, Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle , Publibook , 2015, pages 30,31 
