トラクトリックス

トラクトリックス (tractrix) 、牽引線（けんいんせん）、引弧線、犬曲線、追跡線とは、直交座標の方程式

{\begin{aligned}x&=\pm \left(a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\right)\\&=\pm \left(a\,{\rm {sech}}^{-1}{\frac {y}{a}}-{\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\right)\quad (a>0)\end{aligned}}

によって表される曲線である。

媒介変数による表示

媒介変数表示では

x=\pm a\left(\ln \tan {\frac {\theta }{2}}+\cos \theta \right),\;y=a\sin \theta ,\quad \theta \in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].

と表される。ここで、座標原点に犬の飼い主が、y軸上の点 $(0, a)$ に長さ $a$ のリードにつながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する軌跡がトラクトリックスになる。 $θ$ は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。牽引線、犬曲線などと呼ばれるのはそのためである。

あるいは、 $\vartheta =\theta -{\frac {\pi }{2}}$ として

x=a\left(\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta -\sin \vartheta \right),\;y=a\cos \vartheta

と表される。ただし、 $\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta$ はグーデルマン関数の逆関数である。さらに、 $t=\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta$ とおくことにより

x=a\left(t-\tanh t\right),\;y=a\operatorname {sech} t

と表すこともできる。

特徴

常微分方程式 ${\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}{y}}$ を満たす。
カテナリー $y=a\cosh {\frac {x}{a}}$ の伸開線に相当し、y軸に対して線対称であり、x軸を漸近線に持つ。尖点は $(0, a)$ 。
区間 $0\leq x_{1}\leq x\leq x_{2}$ における弧長は $a\ln {\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ である。
トラクトリックス上の尖点以外の任意の点をP、Pにおける曲率中心^[1]をO、線分OPの延長とx軸との交点をQとするとき、OP・PQは一定となり、その値は $a 2$ に相当する^[2]。
トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域の面積は ${\frac {\pi a^{2}}{2}}$ （半径 $a$ の円の面積の半分）である^[3]。
トラクトリックスをその漸近線の周りに回転させてできる回転体^[4]の表面積は $4\pi a^{2}$ （半径 $a$ の球の表面積）^[5]、体積は ${\frac {2\pi a^{3}}{3}}$ （半径 $a$ の球の体積の半分）^[6]である。

脚注

[脚注の使い方]

^ Pを表示する媒介変数として、前節に登場したもののうち $θ$ を採用するとき、曲率半径OPは $a|\cot \theta \,|$ となる。これから、弧長の簡潔な導出として、 $\int _{\theta _{2}}^{\theta _{1}}a\cot \theta {\rm {d}}\theta =a\ln {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=a\ln {\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ が得られる。
^ 結果として、Pを犬と見立てたとき、Oのx座標はx軸上を移動する飼い主のx座標に一致することとなる。
^ $\int _{-\infty }^{\infty }y{\rm {d}}x$ を計算しても勿論導出可能であるが、マミコンの定理（英語版）を使えば、長さ $a$ の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。
^ この回転体を構成する回転面のことを擬球面（トラクトロイド）と称する。
^ 媒介変数 $θ$ の地点における線素片の弧長は $a\cot \theta {\rm {d}}\theta$ となるから、 $\int _{-\pi /2}^{\pi /2}2\pi y\cdot a\cot \theta {\rm {d}}\theta$ を計算することにより導出できる。
^ $\pi \int _{-\infty }^{\infty }y^{2}{\rm {d}}x$ を計算しても勿論導出可能であるが、次のように考えることもできる。トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域を $θ$ と $θ + d θ$ との間にある等辺 $a$ 、頂角 d $θ$ の微小二等辺三角形面積素片に分解し、各頂点を座標原点に（回転を全く伴わない純粋平行移動で）集約し並べ直すと、半径 $a$ の半円が漸近線上にその直径を含む形で構成される。元の領域の各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離は、当該半円に並べ直した各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離の半分に相当しているから、パップス＝ギュルダンの定理により、求める体積は当該半円を漸近線の周りに回転させることにより生ずる半径 $a$ の球の体積の半分であると解することができる。

参考文献

オスターマン, A.、ヴァンナー, G. 著、蟹江幸博訳『幾何教程』下、丸善出版、2017年11月。ISBN 978-4-621-30212-5。
Apostol, Tom M.、Mnatsakanian, Mamikon A. 著、川辺治之訳『Aha! ひらめきの幾何学―アルキメデスも驚くマミコンの定理―』共立出版、2016年8月。ISBN 978-4-320-11138-7。

外部リンク

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Tractrix”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews .
tractrix - PlanetMath.（英語）
Weisstein, Eric W. "Tractrix". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] Pを表示する媒介変数として、前節に登場したもののうち $θ$ を採用するとき、曲率半径OPは $a|\cot \theta \,|$ となる。これから、弧長の簡潔な導出として、 $\int _{\theta _{2}}^{\theta _{1}}a\cot \theta {\rm {d}}\theta =a\ln {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=a\ln {\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ が得られる。

[2] 結果として、Pを犬と見立てたとき、Oのx座標はx軸上を移動する飼い主のx座標に一致することとなる。

[3] $\int _{-\infty }^{\infty }y{\rm {d}}x$ を計算しても勿論導出可能であるが、マミコンの定理（英語版）を使えば、長さ $a$ の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。

[4] この回転体を構成する回転面のことを擬球面（トラクトロイド）と称する。

[5] 媒介変数 $θ$ の地点における線素片の弧長は $a\cot \theta {\rm {d}}\theta$ となるから、 $\int _{-\pi /2}^{\pi /2}2\pi y\cdot a\cot \theta {\rm {d}}\theta$ を計算することにより導出できる。

[6] $\pi \int _{-\infty }^{\infty }y^{2}{\rm {d}}x$ を計算しても勿論導出可能であるが、次のように考えることもできる。トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域を $θ$ と $θ + d θ$ との間にある等辺 $a$ 、頂角 d $θ$ の微小二等辺三角形面積素片に分解し、各頂点を座標原点に（回転を全く伴わない純粋平行移動で）集約し並べ直すと、半径 $a$ の半円が漸近線上にその直径を含む形で構成される。元の領域の各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離は、当該半円に並べ直した各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離の半分に相当しているから、パップス＝ギュルダンの定理により、求める体積は当該半円を漸近線の周りに回転させることにより生ずる半径 $a$ の球の体積の半分であると解することができる。

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[2]

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媒介変数による表示

特徴

脚注

参考文献

関連文献

外部リンク