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ネイピア数 e には様々な表式がある。本稿では代表的なネイピア数の定義とそれに基づく表式について述べる。以下では特に断りがない限り、e をネイピア数とする。
e は数学定数 の一つであり、しばしば自然対数 の底 と呼ばれる実数 である。e は無理数 であるため（ネイピア数の無理性の証明 参照）通常の分数 では表せないが、無限連分数 で表すことはできる。また、解析学 的手法を用いて級数 や無限乗積 、ある種の数列 の極限 としてe を表すことができる。
以下にネイピア数 e のいくつかの定義を示す。本項において e の定義と e の表式に明確な差はないが、歴史的に e の利用目的・存在理由としての意義付けが明確なものを定義として扱っている。
I. ヤコブ・ベルヌーイ によるとされる e の定義:
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
ベルヌーイは複利 計算の過程でこの式の重要性を見い出したとされている。 II. 微分積分学 的な定義:
e
=
a
s.t.
d
d
x
a
x
=
a
x
{\displaystyle e=a\;{\text{ s.t. }}{\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\,}
x を指数部に持つ指数関数 において x による微分 がその関数自身となる、という e の性質は微分積分学 での最も基本的なものの一つである。e は様々な無限連分数 で表現できる。超越数 であるので循環節は持たないが、ある種の規則性が観察される。
I. e は単純な正則連分数 で表現可能である[ 1]
e
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
…
,
2n
,
1
,
1
,
…
]
=
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
4
+
⋱
{\displaystyle {\begin{aligned}e&=\left[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots \right]\\&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}
II. 一般連分数による表現
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
2
3
+
3
4
+
4
5
+
⋱
{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}}
III. (II) から連分数 等価変換により得られる連分数
e
=
2
+
2
2
+
3
3
+
4
4
+
5
5
+
6
6
+
⋱
{\displaystyle e=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}}
IV. (II) から変換して得られるが、… 6, 10, 14, … という項を含み、収束が早い。
e
=
1
+
2
1
+
1
6
+
1
10
+
1
14
+
1
18
+
⋱
{\displaystyle e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}
V. この例は e の指数関数 のうち特殊なケースである。
e
2
x
/
y
=
1
+
2
x
(
y
−
x
)
+
x
2
3
y
+
x
2
5
y
+
x
2
7
y
+
x
2
9
y
+
⋱
{\displaystyle e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{(y-x)+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+\ddots \,}}}}}}}}}}}
ネイピア数 e は次のような級数 で表される。
e
=
∑
k
=
0
∞
1
k
!
{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}
[ 2]
e
=
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
]
−
1
{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
1
−
2
k
(
2
k
)
!
]
−
1
{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}
[ 3]
e
=
1
2
∑
k
=
0
∞
k
+
1
k
!
{\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}
e
=
2
∑
k
=
0
∞
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}
e
=
∑
k
=
0
∞
3
−
4
k
2
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}
e
=
∑
k
=
0
∞
(
3
k
)
2
+
1
(
3
k
)
!
{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
4
k
+
3
2
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
]
2
{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}
e
=
−
12
π
2
[
∑
k
=
1
∞
1
k
2
cos
(
9
k
π
+
k
2
π
2
−
9
)
]
−
1
/
3
{\displaystyle e=-{\frac {12}{\pi ^{2}}}\left[\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
2
2
(
k
!
)
{\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
3
5
(
k
!
)
{\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
n
B
n
(
k
!
)
{\displaystyle e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}
Bn は n 番目のベル数 ）ネイピア数 e はいくつかの無限乗積 の形式で表現できる。
I. Pippengerの積:
e
=
2
(
2
1
)
1
/
2
(
2
3
4
3
)
1
/
4
(
4
5
6
5
6
7
8
7
)
1
/
8
⋯
{\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }
II. Guillera の積[ 4] [ 5]
e
=
∏
n
=
1
∞
∏
k
=
0
n
(
k
+
1
)
(
−
1
)
k
+
1
(
n
k
)
n
=
(
2
1
)
1
/
1
(
2
2
1
⋅
3
)
1
/
2
(
2
3
⋅
4
1
⋅
3
3
)
1
/
3
(
2
4
⋅
4
4
1
⋅
3
6
⋅
5
)
1
/
4
⋯
,
{\displaystyle e=\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}
ここに n 番目の因子は次の積 の n 乗根である。
∏
k
=
0
n
(
k
+
1
)
(
−
1
)
k
+
1
(
n
k
)
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}
III. 無限乗積:
e
=
2
⋅
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
2
⋯
2
ln
(
2
)
−
1
⋅
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
3
⋯
.
{\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}
ネイピア数 e はいくつかの無限数列 の極限 として表現できる。
I. スターリングの公式 その1
e
=
lim
n
→
∞
n
⋅
(
2
π
n
n
!
)
1
/
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}
II. スターリングの公式その2
e
=
lim
n
→
∞
n
n
!
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}
III. 上述の e の基本的な極限による定義から得られる対称形の極限[ 6] [ 7]
e
=
lim
n
→
∞
[
(
n
+
1
)
n
+
1
n
n
−
n
n
(
n
−
1
)
n
−
1
]
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}
IV. 別の極限による例[ 8]
e
=
lim
n
→
∞
(
p
n
#
)
1
/
p
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}}
ここで
p
n
{\displaystyle p_{n}}
n 番目の素数 、
p
n
#
{\displaystyle p_{n}\#}
p
n
{\displaystyle p_{n}}
素数階乗 V. 極限による指数関数の一般形式
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
^ オンライン整数列大辞典 の数列 A003417 ^ Brown, Stan (2006年8月27日). “It’s the Law Too — the Laws of Logarithms ”. Oak Road Systems. 2008年8月14日 閲覧。 ^ Formulas 2-7: H. J. Brothers , Improving the convergence of Newton's series approximation for e. The College Mathematics Journal , Vol. 35, No. 1, 2004; pages 34-39.
^ J. Sondow, A faster product for pi and a new integral for ln pi/2, Amer. Math. Monthly 112 (2005) 729-734.
^ J. Guillera and J. Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent, Ramanujan Journal 16 (2008), 247-270.
^ H. J. Brothers and J. A. Knox, New closed-form approximations to the Logarithmic Constant e. The Mathematical Intelligencer , Vol. 20, No. 4, 1998; pages 25-29.^ Khattri, Sanjay, From Lobatto Quadrature to the Euler constant e ,
https://2005euballoons.com/#skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf
^ S. M. Ruiz 1997
![{\displaystyle {\begin{aligned}e&=\left[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots \right]\\&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7545eb2db1a146610cada2235197624030f6750)
![{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee680fb2f6c024d3207b864560743c6502bc0828)
![{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fed598ba8fe6acd4dae74a3348d7780f1b1e07)
![{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26c23d9900e39fbd0c5a8062a393db51ebc445f)
![{\displaystyle e=-{\frac {12}{\pi ^{2}}}\left[\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4dcbdc0c2eb17e0125dbd6001c98254232cd77)
![{\displaystyle e=\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c354924ce5d3eee5defbbd9246f3c176204217a)
![{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310afedad5e855a28eb0d1b232a29031bd682548)
![{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cffa4b98fac483870fb5da1d93940ef414d8319)
