連分数

連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$

ここで a₀ は整数、それ以外の a_n は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。

連分数を式で表す際には次のような書き方もある。

$x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+}}\,{\frac {1}{a_{2}+}}\,{\frac {1}{a_{3}}}$

または

x = [a₀; a₁, a₂, a₃]

また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。

$\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right]=\lim _{n\to \infty }\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}\right]$

二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

連分数展開の例

例として黄金数 φ を考える。φ は x² − x − 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、

${\begin{aligned}x^{2}&=x+1\\x&=1+{\frac {1}{x}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}}}\end{aligned}}$

以下同様にして、

$\varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[1;1,1,1,1,1,\ldots ]$

と表すことができる。

より一般的には、x² − nx = 1 の正の解を次のように表すことができる。

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4}}\right)$

連分数の計算方法

いまある数 ω が与えられたとする。ω を超えない最大の整数を a₀ とし、

$\omega =a_{0}+{\frac {1}{\omega _{1}}}$

となるよう ω₁ を定める。ω₁ が整数でないならば、ω₁ を超えない最大の整数を a₁ とし、

$\omega _{1}=a_{1}+{\frac {1}{\omega _{2}}}$

となるように ω₂ を定めることができる。以下この作業を繰り返すことにより、n 段までの連分数

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots a_{n-1}+{\cfrac {1}{\omega _{n}}}}}}}}}$

を求めることができる。もし ω が有理数ならば、この作業は有限回で終了するが、無理数ならば無限にこの作業が続く。

但し、上述してある通り、ω が二次無理数であり、かつその場合に限り、循環する連分数になる。

${\frac {p_{n}}{q_{n}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}]$ は ω に収束する。すなわち上記の作業を繰り返すことによりいくらでも実数 ω に近い有理数を求めることができる。また、ω と連分数の差は

$\left|\omega -{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{{q_{n}}^{2}}}$

となることが知られており、連分数はディオファントス近似の解を求める手段として有効である。

連分数の性質

いま、a₀ は整数、それ以外の a_n は正の整数であるような数列

$a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$

があるとき、数列 p_n, q_n を以下のように定める。

${\begin{cases}p_{0}=1\\p_{1}=a_{0}\\p_{n}=a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}\quad {\begin{cases}q_{0}=0\\q_{1}=1\\q_{n}=a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}$

このとき、連分数は

$[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n-1}]={\frac {a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}$

となる。

p_n とq_n にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 a₀, a₁, ... , a_n−1 のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 p_n, q_n の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。

また、p_n, q_n は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、p_n と q_n は互いに素である。つまり連分数 ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ は既約分数である。

さらに |p_n+1q_n − p_nq_n+1| = 1 である。また、p_n と p_n+1 および、q_n と q_n+1 も互いに素である。

なお数列a_n が全て 1 の場合、数列p_n, q_n はともにフィボナッチ数列 (F₀ = 0, F₁ = 1) である。すなわち

${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$

である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比に収束する。ゆえに隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束することが分かる。

また、アレクサンドル・ヒンチンによると、正則連分数の場合、a₀以外の係数の幾何平均はある極限、つまりヒンチンの定数に接近する。$$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots$$

ただし、この定数は代数的無理数なのか超越数なのかについては、まだ分かっていない。

様々な数の連分数展開

下線部はそれぞれの循環節。

• 2の平方根

  ${\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,\dots ]=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}$

（2。循環節の長さは 1）

• 3の平方根

  ${\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}}}}}}}$

（1, 2。循環節の長さは 2）

• 黄金数の逆数 φ⁻¹ = [0; 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]（1。循環節の長さは 1）
• 白銀数 1 + √2 = [2; 2, 2, 2, 2, 2, 2,…]（2。循環節の長さは 1）
  • 白銀数の逆数 ${\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}=-1+{\sqrt {2}}=[0;2,2,2,2,2,2,\dots ]$（2。循環節の長さは 1）

以上は二次無理数であるので、循環する連分数展開を持つ。

ネイピア数は超越数であり、その連分数展開は循環しないものの一定の規則性を持つ。

• ネイピア数 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...](オンライン整数列大辞典の数列 A003417)

円周率の正則連分数展開には規則性がないと考えられている。

• 円周率 π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...]（オンライン整数列大辞典の数列 A001203）

円周率の正則でない連分数で規則性を持つものが存在する。

$\pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}$

${\cfrac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{\ddots \,}}}}}}}}}}}}$

→「円周率の歴史」および「ライプニッツの公式」も参照

力学系としての連分数

→詳細は「エルゴード理論 § 連分数への応用」を参照

参考文献

• 平山諦『円周率の歴史』中教出版、1955年8月5日。 

• 高木貞治「第2章 連分数」『初等整数論講義』（第2版）共立出版、1971年10月15日。ISBN 4-320-01001-9。http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017。 
• 遠山啓「第6章 連分数」『初等整数論』日本評論社〈日評数学選書〉、1972年2月28日。ISBN 4-535-60109-7。http://www.nippyo.co.jp/book/1254.html。 
• 武隈良一：「ディオファンタス近似論」、槇書店 (1972年9月20日) - 主に第1章だが他の章も関係あり。
• 高橋磐郎、室谷義昭：「数値計算とその応用」、コロナ社（応用数学講座5）、ISBN 4-339-06024-0 (1979年7月15日）－ 第1章、第2章、第4章。
• Serge Lang: Introduction to Diophantine Approximations: New Expanded Edition, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94456-7 (1995年).
• A. Ya. Khinchin (1997-05-14). Continued Fractions. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-69630-8 
• Fritz Schweiger: Multidimensional Continued Fractions, Oxford Univ. Press, ISBN 978-0-19-850686-7 (2000年).
• G・H・ハーディ、E・M・ライト「第10章 連分数」『数論入門』 I、示野信一・矢神毅翻訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年7月1日。ISBN 4-431-70848-0。 
  • G・H・ハーディ、E・M・ライト「第10章 連分数」『数論入門』 I、示野信一・矢神毅翻訳、丸善出版、2012年7月17日。ISBN 978-4-621-06226-5。  - ハーディ＆ライト(2001)の復刊。
• Marius losifescu and Cor Kraaikamp: Metrical Theory of Continued Fractions, Springer, ISBN 978-90-481-6130-0 (2002年).
• Doug Hensley: Continued Fractions, World Scientific, ISBN 978-981-256-477-1 (2006年).
• ジョセフ・H・シルヴァーマン『はじめての数論 発見と証明の大航海――ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』鈴木治郎訳（原著第3版）、ピアソン・エデュケーション、2007年4月25日。ISBN 978-4-89471-492-2。 
• ジョセフ・H・シルヴァーマン『はじめての数論 発見と証明の大航海――ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』鈴木治郎 訳（原著第3版）、丸善出版、2014年5月13日。ISBN 978-4-621-06620-1。http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621066201.html。 
  • 第38章 おお，なんて美しい関数だこと（299-311頁）
  • 第39章 連分数のでんぐり返り世界（312-326頁）
  • 第40章 連分数，平方根，そしてペル方程式（327-341頁）
• Annie Cuyt , Vigdis Brevik Petersen , Brigitte Verdonk , Haakon Waadeland ,and William B. Jones: Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, ISBN 978-1-4020-6949-9 (2008).
• 木村俊一『連分数のふしぎ 無理数の発見から超越数まで』講談社〈ブルーバックス1770〉、2012年5月20日。ISBN 978-4-06-257770-0。https://bookclub.kodansha.co.jp/product?item=0000194731。 
• Oleg Karpenkov: Geometry of Continued Fractions, Springer, ISBN 978-3-642-39367-9 (2013年).
• T. Sauer: Continued Fractions and Signal Processing, Springer (2020).

外部リンク

• 足立恒雄『連分数』 - コトバンク
• Continued fraction-Rosetta Code