ノート:チャーン・サイモンズ理論

英語版の『Chern-Simons theory』より日本語化しました．英語版では、小さな議論があって、 ･｢headにWittenがintroduceしたとあるが誤りでは、」との疑問に対し、明確にChernとSimonsが1974年の論文で提出した議論であり、中でも境界項（CS項）として現れるPontryagin数の積分が微分幾何学的な根拠であるということを記述した． ･CS重力理論については、そのままとした． ･LQGの"Kodama state"についての議論は、伝聞の形のまま日本語化した． ･結び目理論の多項式不変量で不明確な事項があるが、そのままとした． ･量子ホール効果など、他の理論との関係への言及が中途である． などなど、記事として様々な問題があるかもしれません．詳しい方の加筆を期待．--enyokoyama 2012年12月30日 (日) 05:44 (UTC)

29 Jan. 2013 管理者山田晴通様より、｢努力が足りん｣との冠を頂いてしまいました．言い訳を書いております．やはり、この項目はないと具合が悪いには具合が悪いので投稿したが、実は、突っ込みどころ満載の記事なのです．英語版でのやり取りで、数学的なところを記載を強化できないのかとの質問に少しは答えれたのかなと思っています．CS重力についてはあまりに記述が弱いので、追記するつもりです．結び目理論の多項式不変量の不明確な点は、おかしいとは思いつつも、紐解く手立てを見つけれていません、どなたかおられませんでしょうか（英語版の議論も見ていただきたい．）--enyokoyama 2013年1月29日 (火) 14:57 (UTC)

この件に関する論点のうち、特にスタイルの問題につきましては、山田の利用者ページへ enyokoyama さんからコメントをいただき、関連して井戸端で、どこで議論すべきかの意見を募っております。そこでの議論を経て、しかるべき議論の場が定まりましたら、そちらにもご注目いただければありがたく存じます。--山田晴通（会話） 2013年1月29日 (火) 15:55 (UTC)

英語版での議論

英語版での議論は下記のような内容です．2010年以来の議論がなされています．

１、CS理論の創設者はE.Wittenさんか？これ間違っていないか．

２、物理でもほかにCS理論を導入した人がいるのではないか？

３、数学的な根拠があるはずである．

以上の点については、私が改訂しています．また日本語版は改訂都度に反映させています．ほかに、結び目理論との関係で、

• １、N = 2 という特別な場合には、ホンフリー多項式はジョーンズ多項式となる．

• ２、SO(N) の場合には、カウフマン多項式と同様の多項式として記述される．

（日本語版のセンテンスにしてあります）この命題は正しいか、正しいのであれば文献を示してくださいというもの．--enyokoyama 2013年5月5日 (日) 07:20 (UTC)

後ろの結び目理論の問題も、他の方が対応されています．--enyokoyama 2013年5月5日 (日) 07:37 (UTC)

物性との関係

ヘッドラインに、

凝縮系物性では、チャーン・サイモンズ理論は分数的量子ホール効果の位相的オーダーとして表される。

と載せたが、内容が分かって記載したわけではありません．この話題に詳しいかた、是非、教えていただきたくお願いいたします．英語版にも全く記述がありません．--enyokoyama 2013年6月2日 (日) 14:34 (UTC)

とりあえず「他の理論との関係」の章に簡単な記述を追加しました.　ただ、このページの章分けの基準を私が理解していない（特に「他の理論との関係」と「他の理論のチャーン・サイモンズ項」の違いが良く分からない）ので、不適切な場所に追加しているかもしれません. 不適切であれば適時修正をお願いします. --Dinko（会話） 2013年9月4日 (水) 08:28 (UTC)

（私が物性論に疎いことが原因で）拝見いたしましたが、内容は理解できずに誠に申し訳ございません．とはいえ、記載いただいたことに誠に感謝しております．本ノートの頭の部分を見てもわかるとおり、日本語版では内容的な改善の話、表現を改善する話はなされず、表面の形の話ばかりで正直、何をしているのかわからなくなったり、腹が立ったりしております．他の理論との関係は特に｢何か基準がある｣というよりも、発生都度に追加されているように思われます．英語版の議論はもう何年か前には、Chern-Simons理論はE.Wittenが開発した理論であり、、、と書きだされていました．それは誤っていて、発見者は名前の通りChernとSimonsです．1970年代初頭に、特性類に起源を持つ幾何学が出発点で、そのあとに物理との関係がクローズアップされ、E.Wittenによって1980年代末にChern-Simons理論とJones多項式との関係が築かれたというのが大きなストーリィと理解しております．英語版の記事に、私が大幅修正を加えた頃には、もう｢他の理論との関係｣という章立てが出来上がっていました．一通りまとまった記事ではありましたので、私が日本語化しました．何年かにわたる議論は英語版のnote欄に残っていますので、参照願います．--enyokoyama 2013年9月4日 (水) 12:27 (UTC)

Chern-Simons重力理論

2000年のBrazil物理学会誌に"Chern-Simons Gravity: from 2+1 to 2n+1 dimensions"というタイトルのZanelliさんの解説記事がある．引用すると、

Chern-Simons理論は奇妙な歴史を持っている．1970年代にはアノマリの脈絡で発見され、2+1次元のゲージ理論のエキゾチックなトイモデルとして扱われた[10]．1980年代中期に通常の2+1次元のEinstein重力はChern-Simons系の自然な例であることが認識された．特にWittenの仕事である{11}を通してである。結局、CS系は、一見したときよりもより目立った存在である．2+1次元の（宇宙定数をもっていたり、もっていなかったりするが）重力理論は、CS系（それぞれISO(2, 1)であったり、SO(2, 2)であったりするが、）であり、Hamiltonian形式の通常の任意の力学系は0+1次元の可換CS系と見ることができる[12]．力学系のこの見方は、完全に酷いということではなく、むしろBohrとSommerfeldの量子化規則の評価のような古典的な問題に光を当てる．

[10] S. Deser, R. Jackiw and S. Templeton, Ann.Phys.(NY) 140, 372 (1982) and B. Zumino Les Houches Summer School (1983)

[11] E. Witten, Nucl. Phys. B 311, 46 (1989).

[12] J. Saavedra, R. Troncoso, J. Zanelli, Degenerate Dynamical Systems arXiv:hep-th/0011231

そして、2+1重力理論との関係については、この解説記事の中では次のように記載されている．

最後の疑問は、接続はvielbeinの函数として書き下すことができることを意味しており、下に記載した式(40)は時空は各々の点で曲率が定数を持たねばならない．2+1重力理論は自由度を伝播するものがないという観点からは、定数曲率の時空は、構成しにくいと考えられる．しかし、球対称な場合の式(40)をとくことにより、静的な構成は大域的にはAdS時空を生成するとは限らないが、同一視できることがわかることは驚きである．何故かというと、場の方程式だけでは時空の局所的性質が決定され、大域的なトポロジーは制限しない．このように、時空多様体は切ったり、張ったりすることができ、その方法はKillingベクトルに沿って有限個のisometryにより点どうしを同一視することである．これは、平面からシリンダーを作ったときであり、この場合には、解を得ることができる．事実、このようにしてブラックホールを作ることができる．さらに注目すべきは、ブラックホールの対称軸の周りの回転を設定するLorentz変換によって解を生成することができるという事実である．[17]

(40) is $\epsilon _{abc}(R^{ab}+{\frac {1}{\ell ^{2}}}e^{a}e^{b})=0,$

the last equ. is $T^{a}=0.$

[17]はもちろん BTZ．--enyokoyama 2013年8月24日 (土) 00:01 (UTC)