ハドヴィッガー・フィンスラー不等式

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式（ハドヴィッガー・フィンスラーふとうしき、英: Hadwiger–Finsler inequality）または単にハドヴィッガーの不等式は、平面幾何学における三角形の幾何不等式である。具体的には、三角形の3辺の長さをそれぞれa,b,c、面積をTとして次の不等式が成立する。

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}T$

関連する不等式

• ヴァイツェンベックの不等式（Weitzenböck's inequality）はハドヴィッガー・フィンスラー不等式の系である。

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}T\quad {\mbox{(W)}}.$

逆にハドヴィッガー・フィンスラー不等式は、ヴァイツェンベックの不等式をcircummidarc triangleに適応すれば得ることができる。

ヴァイツェンベックの不等式はヘロンの公式を用いて証明できる。ヘロンの公式を用いた証明では、等号成立条件は元の三角形が正三角形であること、つまりa = b = cであることが分かる。

• ハドヴィッガー・フィンスラー不等式は凸な四角形に拡張することができる。4辺の長さをそれぞれa,b,c,d、面積をTとして次の不等式が成立する。

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4T+{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\sqrt {3}}}\sum {(a-b)^{2}}$

ただし

$\sum {(a-b)^{2}}=(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(a-d)^{2}+(b-c)^{2}+(b-d)^{2}+(c-d)^{2}$

等号成立条件は四角形が正方形である、つまりa = b = c = d であるとき。

証明

余弦定理より

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

ただしαはb,cの夾角。これを変形して、

$a^{2}=(b-c)^{2}+2bc(1-\cos \alpha )$

A = bcsin(α)/2と置けば、

$a^{2}=(b-c)^{2}+4A{\frac {(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }}$

半角の公式または倍角の公式より、

$1-\cos \alpha =2\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$

$\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}$

が成立するので、

$a^{2}=(b-c)^{2}+4A\tan {\frac {\alpha }{2}}$

を得る。この式をすべての辺に適用して辺々足せば、

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4A(\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}})$

を得る。ただしβ.γはそれぞれ三角形の他の内角。正接関数は0 < θ < π/2の範囲で下に凸であるので、イェンセンの不等式より

$\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\geq 3\tan {\frac {\alpha +\beta +\gamma }{6}}=3\tan {\frac {\pi }{6}}={\sqrt {3}}$

したがって

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+4{\sqrt {3}}\,A$

である。ところでA = bcsin(α)/2は三角形の面積を表すから、題意の不等式を得る。

歴史

ハドヴィッガー・フィンスラー不等式はポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーの名を冠している。彼らは共同論文内でこの不等式をフィンスラー・ハドヴィッガーの定理とともに発表した。

関連項目

• 三角形に関する不等式の一覧
• 等周定理
• ペドーの不等式

参考文献

• Finsler, Paul; Hadwiger, Hugo (1937). “Einige Relationen im Dreieck”. Commentarii Mathematici Helvetici 10 (1): 316–326. doi:10.1007/BF01214300. 

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, ISBN 9780883853429, pp. 84-86

外部リンク

• Proof of Hadwiger-Finsler inequality - PlanetMath.（英語）
• Weizenbock's inequality - PlanetMath.（英語）
• 『Hadwigerの不等式』 - 高校数学の美しい物語