フィンスラー・ハドヴィッガーの定理
ユークリッド幾何学において、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理（英: Finsler–Hadwiger theorem）とはポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーにちなんで名づけられた、正方形に関する定理である。1937年、ハドヴィッガー・フィンスラー不等式とともに発表された[1]。
内容
[編集]一点Aを共有する正方形ABCDとAB'C'D'について、BD',B'D,の中点をそれぞれE,G、正方形の中心をそれぞれF,Hとする。このとき四角形EFGHは正方形である[2][3]。
この正方形はフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形（Finsler–Hadwiger square）と呼ばれている[4]。フィンスラー・ハドヴィッガーの正方形は四角形BDB'D'のヴァリニョンの平行四辺形で、その同値条件から四角形BDB'D'は2つの対角線の長さが等しい直交対角線四角形である。
応用
[編集]フィンスラー・ハドヴィッガーの定理を繰り返し用いることで、 ヴァン・オーベルの定理を証明することができる。任意の四角形ABCDについて、それぞれAB,BCを一辺とする外側の正方形のフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形、それぞれCD,DAを一辺とする外側の正方形のフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形はACの中点を共有することを用いることによって示される[5]。
出典
[編集]- ^ ポール, フィンスラー; ヒューゴ, ハドヴィッガー (1937), “Einige Relationen im Dreieck” (German), Commentarii Mathematici Helvetici 10 (1): 316–326, doi:10.1007/BF01214300, MR1509584. See in particular p. 324.
- ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), “The Finsler–Hadwiger Theorem 8.5”, Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics, Mathematical Association of America, p. 125, ISBN 9780883853481.
- ^ “美しい Van Aubel の定理”. 西山豊. 2024年5月10日閲覧。
- ^ Detemple, Duane; Harold, Sonia (1996), “A round-up of square problems”, Mathematics Magazine 69 (1): 15–27, doi:10.1080/0025570X.1996.11996375, JSTOR 2691390, MR1573131. See problem 8, pp. 20–21.
- ^ Detemple & Harold (1996), problem 15, pp. 25–26.
外部リンク
[編集]- Weisstein, Eric W. "Finsler-Hadwiger theorem". mathworld.wolfram.com (英語).