フォドアの補題

数学、特に集合論においてフォドアの補題(あるいはフォドアの押し下げ補題)は以下の主張を指す:

フォドアの補題 ―  $\kappa$ を非可算な正則基数、$S$ を $\kappa$ の定常集合、順序数関数 $f:S\rightarrow \kappa$ を押し下げ関数(regressive function; すなわち、全ての $\alpha \in S$, $\alpha \neq 0$ に対し $f(\alpha )<\alpha$)とする。

このとき、ある順序数 $\gamma \in \kappa$ と、ある定常集合 $S_{0}\subseteq S$ があって、全ての $\alpha \in S_{0}$ に対して $f(\alpha )=\gamma$ を満たす(すなわち、$S_{0}$ 上で $f$ は定値関数である)。

証明

証明 — このような定常集合 $S_{0}$ が存在しないとすれば、任意の $\gamma <\kappa$ に対し $f^{-1}(\gamma )$ ($=\{\alpha \in S:f(\alpha )=\gamma \}$) は非定常である。ゆえに各 $\gamma <\kappa$ について $f^{-1}(\gamma )$ と交わらないclub集合 $C_{\gamma }$ が取れ、任意の $\alpha \in S\cap C_{\gamma }$ について $f(\alpha )\neq \gamma$ である。これらの族 $(C_{\gamma })_{\gamma <\kappa }$ の対角線共通部分を $C:=\Delta _{\gamma <\kappa }C_{\gamma }$ ($=\{\beta <\kappa :\beta \in \bigcap _{\gamma <\beta }C_{\gamma }\}$) とおく。$\kappa$ が正則より対角線共通部分 $C$ は再びclubとなり、$S$ が定常なので $S\cap C$ も定常である。($0\neq$) $\alpha \in S\cap C$ を一つ選ぶ。このとき $\alpha \in \bigcap _{\gamma <\alpha }C_{\gamma }$ であり、全ての $\gamma <\alpha$ に対して $\alpha \in C_{\gamma }$ である。よってどんな $\gamma <\alpha$ についても、$\alpha \notin f^{-1}(\gamma )$ すなわち $f(\alpha )\neq \gamma$。従って $f(\alpha )\geq \alpha \in S$ となるが、$f$ が押し下げ関数だったことに矛盾する。//

この補題はハンガリー人集合論者 Géza Fodor によって1956年に初めて証明された。しばしば「押し下げ補題(The Pressing Down Lemma)」などと呼ばれたりもする。

フォドアの補題はトマーシュ・イェフによる定常集合に関しても成り立ち、一般化された定常集合に関しても同様に成り立つ。

参考文献

• G. Fodor, Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Math. Szeged, 17(1956), 139-142.
• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Part I, Chapter 8.
• Karel Hrbacek & Thomas Jech, Introduction to Set Theory, 3rd edition, Chapter 11, Section 3.
• Mark Howard, Applications of Fodor's Lemma to Vaught's Conjecture. Ann. Pure and Appl. Logic 42(1): 1-19 (1989).
• Simon Thomas, The Automorphism Tower Problem. PostScript file at [1]

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