フルヴィッツのゼータ函数 (Hurwitz zeta function) はゼータ函数 の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツ に因む。フルヴィッツのゼータ函数は、Re(s ) > 1 なる s と Re(q ) > 0 なる q の 2 つの複素数 に対して、形式的に以下のように定義される。
ζ
(
s
,
q
)
=
∑
n
=
0
∞
1
(
q
+
n
)
s
.
{\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.}
この級数 は与えられた値 s と q に対し絶対収束 し、また s ≠ 1 なるすべての s に対して定義される有理型函数 へ拡張することができる。フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数 の拡張であり、リーマンゼータ函数 はフルヴィッツのゼータ函数を用いて ζ (s , 1) と表される。
Re(s ) ≤ 1 であれば、フルヴィッツのゼータ函数は、式
ζ
(
s
,
q
)
=
Γ
(
1
−
s
)
1
2
π
i
∫
C
z
s
−
1
e
q
z
1
−
e
z
d
z
{\displaystyle \zeta (s,q)=\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {z^{s-1}e^{qz}}{1-e^{z}}}dz}
で定義することができる。この積分路 (contour) C は負の実軸を回るループである。この定義は、
ζ
(
s
,
q
)
{\displaystyle \zeta (s,q)}
の解析接続をもたらす。
フルヴィッツのゼータ函数は、s ≠ 1 である全ての複素数 s に対して定義される有理型函数 へ解析接続 により拡張される。また、s = 1 で、留数 が 1 である単純極 を持つ。定数項は、
lim
s
→
1
[
ζ
(
s
,
q
)
−
1
s
−
1
]
=
−
Γ
′
(
q
)
Γ
(
q
)
=
−
ψ
(
q
)
{\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}
で与えられる。ここに Γ はガンマ函数 であり、ψ はディガンマ函数 である。
ℜ
q
>
0
{\displaystyle \Re \,q>0}
と
s
≠
1
{\displaystyle s\neq 1}
である任意の複素数 (ただし
ℜ
q
{\displaystyle \Re \,q}
は q の実部を表す) で定義されるフルヴィッツのゼータ函数のニュートン級数 (英語版 ) (Newton series) による表現は、1930年に ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) により、[ 1]
ζ
(
s
,
q
)
=
1
s
−
1
∑
n
=
0
∞
1
n
+
1
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
(
q
+
k
)
1
−
s
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}
として与えられた。
この級数は、s -平面のコンパクトな部分集合 の上で整函数 へ均一に収束し、内部の和は
q
1
−
s
{\displaystyle q^{1-s}}
の n -次差分 であると理解することができる。すなわち、
Δ
n
q
1
−
s
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
−
k
(
n
k
)
(
q
+
k
)
1
−
s
{\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}
が成り立つ。ここに Δ は、差分作用素 である。従って、次のように書くことができる。
ζ
(
s
,
q
)
=
1
s
−
1
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
+
1
Δ
n
q
1
−
s
=
1
s
−
1
log
(
1
+
Δ
)
Δ
q
1
−
s
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s,q)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}\\&={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.\end{aligned}}}
フルヴィッツのゼータ函数は、メリン変換 により積分表現され、
ℜ
s
>
1
{\displaystyle \Re \,s>1}
と
ℜ
q
>
0
{\displaystyle \Re \,q>0}
に対し、
ζ
(
s
,
q
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
t
s
−
1
e
−
q
t
1
−
e
−
t
d
t
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}
と表すことができる。
フルヴィッツの公式とは、
ζ
(
1
−
s
,
x
)
=
1
2
s
[
e
−
i
π
s
/
2
β
(
x
;
s
)
+
e
i
π
s
/
2
β
(
1
−
x
;
s
)
]
{\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}
という定理である。ここに、
β
(
x
;
s
)
=
2
Γ
(
s
+
1
)
∑
n
=
1
∞
exp
(
2
π
i
n
x
)
(
2
π
n
)
s
=
2
Γ
(
s
+
1
)
(
2
π
)
s
Li
s
(
e
2
π
i
x
)
{\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}
は、
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle 0\leq x\leq 1}
と
s
>
1
{\displaystyle s>1}
に対して、ゼータ函数の有効な表現である。また、ここの
Li
s
(
z
)
{\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)}
は多重対数関数 である。
函数等式 は、複素平面内でゼータ函数の右辺と左辺の値を関連付ける。整数
1
≤
m
≤
n
{\displaystyle 1\leq m\leq n}
に対し、
ζ
(
1
−
s
,
m
n
)
=
2
Γ
(
s
)
(
2
π
n
)
s
∑
k
=
1
n
[
cos
(
π
s
2
−
2
π
k
m
n
)
ζ
(
s
,
k
n
)
]
{\displaystyle \zeta \left(1-s,{\frac {m}{n}}\right)={\frac {2\Gamma (s)}{(2\pi n)^{s}}}\sum _{k=1}^{n}\left[\cos \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {2\pi km}{n}}\right)\;\zeta \left(s,{\frac {k}{n}}\right)\right]}
が、s の全ての値に対して成立する。
フルヴィッツのゼータ函数の第二引数での微分は、シフト (shift) と見ることができる。
∂
∂
q
ζ
(
s
,
q
)
=
−
s
ζ
(
s
+
1
,
q
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).}
従って、テイラー級数 は次のように表せる。
ζ
(
s
,
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
∞
y
k
k
!
∂
k
∂
x
k
ζ
(
s
,
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
s
+
k
−
1
s
−
1
)
(
−
y
)
k
ζ
(
s
+
k
,
x
)
.
{\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).}
この代わりに
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
に対し、
ζ
(
s
,
q
)
=
1
q
s
+
∑
n
=
0
∞
(
−
q
)
n
(
s
+
n
−
1
n
)
ζ
(
s
+
n
)
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n)}
が成立する[ 2] 。
スターク・ケイパーの公式 (Stark–Keiper formula)
ζ
(
s
,
N
)
=
∑
k
=
0
∞
[
N
+
s
−
1
k
+
1
]
(
s
+
k
−
1
s
−
1
)
(
−
1
)
k
ζ
(
s
+
k
,
N
)
{\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}
は、これと密接に関連していて、整数 N と任意の s に対して成り立つ。整数のべきの有限和についての同様な関係式については、ファウルハーバーの公式 を参照。
ローラン級数 展開は、次の級数の中のスティルチェス定数 (Stieltjes constants) を定義することに使うことができる。
ζ
(
s
,
q
)
=
1
s
−
1
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
γ
n
(
q
)
(
s
−
1
)
n
.
{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.}
特に、
γ
0
(
q
)
=
−
ψ
(
q
)
{\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)}
and
γ
0
(
1
)
=
−
ψ
(
1
)
=
γ
0
=
γ
{\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma }
である。
フルヴィッツのゼータ函数の変数 s での離散フーリエ変換 は、ルジャンドルのχ函数 (Legendre chi function) である。
上で定義した函数
β
{\displaystyle \beta }
は、ベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials)
B
n
(
x
)
=
−
ℜ
[
(
−
i
)
n
β
(
x
;
n
)
]
{\displaystyle B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]}
を一般化する。ここに
ℜ
z
{\displaystyle \Re \,z}
は z の実部を表す。代わりに、
ζ
(
−
n
,
x
)
=
−
B
n
+
1
(
x
)
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}}
と書く。
特に、
n
=
0
{\displaystyle n=0}
に対して関係式は保たれ、
ζ
(
0
,
x
)
=
1
2
−
x
{\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x}
を得る。
ϑ
(
z
,
τ
)
{\displaystyle \vartheta (z,\tau )}
をヤコビのテータ函数 とすると、
∫
0
∞
[
ϑ
(
z
,
i
t
)
−
1
]
t
s
/
2
d
t
t
=
π
−
(
1
−
s
)
/
2
Γ
(
1
−
s
2
)
[
ζ
(
1
−
s
,
z
)
+
ζ
(
1
−
s
,
1
−
z
)
]
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}
が、
ℜ
s
>
0
{\displaystyle \Re \,s>0}
となる複素数 s と、整数を除く複素数 z に対して成立する。z = n が整数の場合は、この式が単純化できて、
∫
0
∞
[
ϑ
(
n
,
i
t
)
−
1
]
t
s
/
2
d
t
t
=
2
π
−
(
1
−
s
)
/
2
Γ
(
1
−
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
=
2
π
−
s
/
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}
となる。ここの ζ はリーマンゼータ函数 である。この後者の式は、リーマンによりもともと与えられたが、リーマンゼータ函数の函数等式 であることに注意する。この z が整数であることとそうでないことの差異は、ヤコビのテータ函数が
t
→
0
{\displaystyle t\rightarrow 0}
のときに z についてくし型関数 (周期的デルタ函数 )へ収束するという事実による。
有理数の引数に対してフルヴィッツのゼータ函数は、ディリクレのL-函数 の線型結合とは、相互に表される関係にある。フルヴィッツのゼータ函数は、q = 1 のときにはリーマンゼータ函数 ζ (s ) に一致する。q = 1/2 のときには、フルヴィッツのゼータ函数は (2s −1)ζ (s ) [ 3] に等しくなり、k > 2 のとき、q = n /k で (n ,k ) > 1 かつ 0 < n < k に対しては、mod k のディリクレ指標 の全てを渡る和として、
ζ
(
s
,
n
/
k
)
=
k
s
φ
(
k
)
∑
χ
χ
¯
(
n
)
L
(
s
,
χ
)
{\displaystyle \zeta (s,n/k)={\frac {k^{s}}{\varphi (k)}}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(n)L(s,\chi )}
となる[ 4] 。反対に、線型結合
L
(
s
,
χ
)
=
1
k
s
∑
n
=
1
k
χ
(
n
)
ζ
(
s
,
n
k
)
{\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)}
で、フルヴィッツのゼータ函数を表すこともできる[ 3] 。
乗法定理 (multiplication theorem)
k
s
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
k
ζ
(
s
,
n
k
)
{\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)}
もあり、この定理の有益な一般化は、分布関係 (distribution relation)[ 5]
∑
p
=
0
q
−
1
ζ
(
s
,
a
+
p
/
q
)
=
q
s
ζ
(
s
,
q
a
)
{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)}
である(最後の式は q が自然数で、1 − qa が自然数でない場合はいつでも有効である)。
q = 1 であれば、フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数 自体となり、q = 1/2 であれば、リーマンゼータ函数に複素変数 x の単純な函数をかけたものとなる(上記参照)。どちらの場合も、リーマンゼータ函数のゼロ点の難しい研究へ繋がっている。特に、実部が 1 よりも大きなところにはゼロ点は存在しない。しかし、0 < q < 1 で、かつ q ≠ 1/2 であれば、フルヴィッツのゼータ函数は任意の正の実数 ε に対し帯状領域 1 < Re(s ) < 1+ε でゼロ点を持つ。このことは、q が有理数の場合と非代数的な無理数の場合に、ハロルド・ダヴェンポート (Harold Davenport) とハンス・ハイルブロン (英語版 ) (Hans Heilbronn) により証明され[ 6] 、代数的な無理数 q に対しては、J. W. S. キャスルズ (英語版 ) (J. W. S. Cassels) により証明された[ 7] [ 3] 。
フルヴィッツのゼータ函数は、有理数での多くの印象的な恒等式の形をとる[ 8] 。特に、オイラー多項式 (Euler polynomial)
E
n
(
x
)
{\displaystyle E_{n}(x)}
の項[ 9] は、
E
2
n
−
1
(
p
q
)
=
(
−
1
)
n
4
(
2
n
−
1
)
!
(
2
π
q
)
2
n
∑
k
=
1
q
ζ
(
2
n
,
2
k
−
1
2
q
)
cos
(
2
k
−
1
)
π
p
q
{\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}
と
E
2
n
(
p
q
)
=
(
−
1
)
n
4
(
2
n
)
!
(
2
π
q
)
2
n
+
1
∑
k
=
1
q
ζ
(
2
n
+
1
,
2
k
−
1
2
q
)
sin
(
2
k
−
1
)
π
p
q
{\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}
である。
また、等式
ζ
(
s
,
2
p
−
1
2
q
)
=
2
(
2
q
)
s
−
1
∑
k
=
1
q
[
C
s
(
k
q
)
cos
(
(
2
p
−
1
)
π
k
q
)
+
S
s
(
k
q
)
sin
(
(
2
p
−
1
)
π
k
q
)
]
{\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]}
も
1
≤
p
≤
q
{\displaystyle 1\leq p\leq q}
に対して成り立つ。ここに、
C
ν
(
x
)
{\displaystyle C_{\nu }(x)}
と
S
ν
(
x
)
{\displaystyle S_{\nu }(x)}
はルジャンドルのχ函数 (Legendre chi function)
χ
ν
{\displaystyle \chi _{\nu }}
を使い、
C
ν
(
x
)
=
Re
χ
ν
(
e
i
x
)
{\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}
と
S
ν
(
x
)
=
Im
χ
ν
(
e
i
x
)
{\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}
である。
整数の値 ν に対し、これらはオイラー多項式の項で表現される。これらの関係式は、上記のフルヴィッツ公式と函数等式を使い得ることができる。
フルヴィッツのゼータ函数は、様々な分野で発生する。最も共通には数論 で発生し、そこでの理論は最も深く、最も発達している。一方、フラクタル や力学系 での研究でも発生する。統計力学 にも適用され、ジップの法則 やジップ・マンデルブロの法則 (英語版 ) (Zipf–Mandelbrot law) でも発生する。素粒子物理学 では、ジュリアン・シュウィンガー (Julian Schwinger) [ 10] による公式でも発生し、均一な電気的な場の中のディラック 電子 の対生成 率を正確にあたえる。
正の整数 m に対するフルヴィッツのゼータ函数は、ポリガンマ函数
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)}
に関係している。負の整数 −n に対して、値はベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials) [ 11]
ζ
(
−
n
,
x
)
=
−
B
n
+
1
(
x
)
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}}
に関係している。
バーンズのゼータ函数 (Barnes zeta function) は、フルヴィッツのゼータ函数を一般化したものである。
レルヒのゼータ函数 (英語版 ) (Lerch transcendent) も、フルヴィッツのゼータ函数を次のように一般化したものである。
Φ
(
z
,
s
,
q
)
=
∑
k
=
0
∞
z
k
(
k
+
q
)
s
{\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}
であるので、
ζ
(
s
,
q
)
=
Φ
(
1
,
s
,
q
)
{\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)}
となる。
超幾何級数
a
1
=
a
2
=
…
=
a
s
=
a
{\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a}
かつ
a
∉
N
{\displaystyle a\notin \mathbb {N} }
かつ
s
∈
N
+
{\displaystyle s\in \mathbb {N} ^{+}}
のとき、
ζ
(
s
,
a
)
=
a
−
s
⋅
s
+
1
F
s
(
1
,
a
1
,
a
2
,
…
a
s
;
a
1
+
1
,
a
2
+
1
,
…
a
s
+
1
;
1
)
{\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)}
である。
メイジャーのG-函数 (英語版 ) (Meijer G-function)
ζ
(
s
,
a
)
=
G
s
+
1
,
s
+
1
1
,
s
+
1
(
−
1
|
0
,
1
−
a
,
…
,
1
−
a
0
,
−
a
,
…
,
−
a
)
s
∈
N
+
.
{\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}
^ Hasse, Helmut (1930), “Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe”, Mathematische Zeitschrift 32 (1): 458–464, doi :10.1007/BF01194645
^ Vepstas, Linas (2007). "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions". arXiv :math/0702243 。
^ a b c Davenport (1967) p.73
^ Lowry, David. “Hurwitz Zeta is a sum of Dirichlet L functions, and vice-versa ”. mixedmath . 8 February 2013 閲覧。
^ Kubert, Daniel S. ; Lang, Serge (1981). Modular Units . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244 . Springer-Verlag . p. 13. ISBN 0-387-90517-0 . Zbl 0492.12002
^ Davenport, H. & Heilbronn, H. (1936), “On the zeros of certain Dirichlet series”, Journal of the London Mathematical Society 11 (3): 181–185, doi :10.1112/jlms/s1-11.3.181
^ Cassels, J. W. S. (1961), “Footnote to a note of Davenport and Heilbronn”, Journal of the London Mathematical Society 36 (1): 177–184, doi :10.1112/jlms/s1-36.1.177
^ Given by Cvijović, Djurdje & Klinowski, Jacek (1999), “Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments”, Mathematics of Computation 68 (228): 1623–1630, Bibcode : 1999MaCom..68.1623C , doi :10.1090/S0025-5718-99-01091-1
^ ベルヌーイ多項式とオイラー多項式やそれらの関係は、英語版では同じ記事ベルヌーイ多項式 の中に記載されている。
^ Schwinger, J. (1951), “On gauge invariance and vacuum polarization”, Physical Review 82 (5): 664–679, Bibcode : 1951PhRv...82..664S , doi :10.1103/PhysRev.82.664
^ Apostol (1976) p.264
Apostol, T. M. (2010), “フルヴィッツのゼータ函数” , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 , http://dlmf.nist.gov/25.11
See chapter 12 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)
Davenport, Harold (1967). Multiplicative number theory . Lectures in advanced mathematics. 1 . Chicago: Markham. Zbl 0159.06303
Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. (1998). “Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments” . Journal of Computational and Applied Mathematics 100 : 201–206. doi :10.1016/S0377-0427(98)00193-9 . http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/hurwitz.htm .
“The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta ”. 2014年1月21日 閲覧。
Mező, István; Dil, Ayhan (2010). “Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function”. Journal of Number Theory 130 (2): 360–369. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005 .