メリン変換

数学におけるメリン変換（メリンへんかん、英: Mellin transform）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者ヒャルマル・メリンの名にちなむ。

定義

局所可積分な関数 f のメリン変換は

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx$

により定義される。 任意の小さな正の数 $\epsilon$ に対して、 $x\to +0$ のとき $f(x)=O(x^{-a-\epsilon })$ 、 $x\to +\infty$ のとき $f(x)=O(x^{-b+\epsilon })$ と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 $\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)$ は $a<\Re (s)<b$ で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds$

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は $a<c<b$ を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理で与えられている。

他の変換との関係

両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

と表される。

メリン変換は、積分核 x^s を用いた、乗法的ハール測度 ${\frac {dx}{x}}$ についての積分と考えることが出来る。ここで ${\frac {dx}{x}}$ は拡張 $x\mapsto ax$ について不変であり、したがって ${\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}$ が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 $dx$ についての積分と考えられる。ここで $dx$ は移動不変であり、したがって $d(x+a)=dx$ が成り立つ。

同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is)$

が成立する。反対に

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)$

も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数や二項変換を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクルの意味におけるポアソン母関数と結び付ける。

例

カヘン-メリン積分

$c>0$、$\Re (y)>0$ および主枝上の $y^{-s}$ に対して、

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$

が成立する。ここで $\Gamma (s)$ はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。

数論

数論における重要な応用例として、単関数 $f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{a}&x>1\end{cases}}$ に対し

${\mathcal {M}}f(s)={\frac {1}{s+a}}$

が成立する、ということが挙げられる。

ゼータ関数

メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 $\zeta (s)$ についての公式を得ることができる。$f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}$としたとき${\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (s)}{n^{s}}}=\Gamma (s)\zeta (s)$よって

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}dx$

L² 上のユニタリ作用素として

ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。$L^{2}(0,\infty )$ （Lp空間を参照されたい）の関数に対して、基本帯（fundamental strip）は常に ${\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R}$ を含む。そのため、線形作用素 ${\tilde {\mathcal {M}}}$ を

${\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx$

によって定義することが出来る。言い換えると、集合

$\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)$

を定義することが出来る。この作用素は通常 ${\mathcal {M}}$ とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために ${\tilde {\mathcal {M}}}$ を記号として用いる。このときメリン逆定理により、${\tilde {\mathcal {M}}}$ は可逆であって、その逆は

${\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds$

と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち $\|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}$ がすべての$f\in L^{2}(0,\infty )$ に対して成立することが分かる（この性質のために係数 $1/{\sqrt {2\pi }}$ が用いられている）。したがって、${\tilde {\mathcal {M}}}$ はユニタリ作用素である。

確率論において

確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、X⁺ = max{X,0} をその正の部分、X⁻ = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は

${\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),$

として定義される。ここで γ は、γ² = 1 を満たすもの（formal indeterminate）である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}（ただしa ≤ 0 ≤ b）内のすべての s に対して存在する。

確率変数 X のメリン変換 $\scriptstyle {\mathcal {M}}_{X}(it)$ は、その分布関数 F_X を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、

${\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)$

が成立する。

応用

メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。

この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。

その他の例

• ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
• メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
• メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
• メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。

関連項目

• メリン逆定理
• ペロンの公式

参考文献

• Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6 
• Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press 
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4 
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58. 
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Weisstein, Eric W. "Mellin Transform". mathworld.wolfram.com (英語).

外部リンク

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish).
• Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
• Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX