ペロンの公式

数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式（ペロンのこうしき、英: Perron's formula）とは、オスカー・ペロンによる、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。

主張

• $\{a(n)\}_{n}$ を数論的関数（つまり複素数の列）とし、

$g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},\quad s\in \mathbb {C}$

を対応するディリクレ級数とする。実数 $c>0$ があって、この級数は半平面 $\{s|\mathrm {Re} (s)>c\}$ で一様収束するものとする。

• 実数 $x>0$ に対し

$A(x):={\sum _{1\leq n\leq x}}'a(n)$

と定義する。ここでプライムのついた和記号は、$x$ が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。

このときペロンの公式は、

$A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds$

右辺の複素積分は $\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds$ と書かれることも多い。この表示のときはコーシーの主値をとっているものと解釈する。

証明のスケッチ

アーベルの総和公式：

$\sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx$

において $\phi (x)=x^{-s}$ とおき、

$\sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx$

$M\to \infty$ とすると $\mathrm {Re} (s)>0$ だから右辺第1項は消えて

$g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx$

変数変換 $x=e^{t}$ をして変形すると、

${\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt$

この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換により

$A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz$

$A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz$

例

ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。

• リーマンゼータ関数は半平面 $\{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} (s)>1\}$ で

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

とディリクレ級数表示され、このとき $a(n)\equiv 1$ より $A(x)=\lfloor x\rfloor$（床関数）となり

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx$

• 一般にディリクレのL-関数に対しては、

$L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx$

ここで $A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\chi (n)$ はディリクレ指標 $\chi (n)$ の和。

• 他にも、Mertens関数（1から n までのメビウス関数の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数（フォン・マンゴルト関数の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。

一般化

ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。

$\sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds$

ここで $G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}$ とし、 $F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx$ はメリン変換である。

試験関数を $f(1/x)=\theta (x-1)$ （ $\theta (x)$ はヘヴィサイドの階段関数）と選ぶとペロンの公式が得られる。

参考文献

• Page 243 of Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR0434929, Zbl 0335.10001 
• Weisstein, Eric W. "Perron's formula". mathworld.wolfram.com (英語).
• Tenenbaum, Gérald C.B. Thomas訳 (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001