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ヘッケ作用素(ヘッケさようそ、英: Hecke operator)とは、ウェイト
の正則保型形式に作用する作用素。モーデル作用素を拡張して定義される。
をウェイト
の正則保型形式
と仮定する。
(ただし、
である。)
このとき、
に対して、ヘッケ作用素
は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}(T_{k}(m)f)(z)&:=m^{k-1}\sum _{ad=m}\sum _{b=0}^{d-1}d^{-k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n}\\&=\sigma _{k-1}(m)a(0,f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f86e5a9e3d4ee0c7d414e16eaa882fea3526669)
によって定義される。
ただし、
、また、
は
正則保型形式
のフーリエ係数である。
![{\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a(n,f)q^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c7e7abe707a1d762db4a9b582d598fd17409ee)
ヘッケ環[編集]
作用素
は関係式
![{\displaystyle T_{k}(m)T_{k}(n)=T_{k}(n)T_{k}(m)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}T_{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcef90d9b45f4bb4f4393775bbb9c00d10f4a303)
を満足するので、
は可換な
代数を構成する。この
をヘッケ環と呼ぶ。
(ただし、ヘッケ環は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある。)
参考文献[編集]