組合せ数学 におけるベル多項式 （ベルたこうしき、英 : Bell polynomials ）とは、エリック・テンプル・ベル の名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
:=
∑
n
!
∏
i
=
1
n
−
k
+
1
j
i
!
∏
i
=
1
n
−
k
+
1
(
x
i
i
!
)
j
i
{\displaystyle :=\sum {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{n-k+1}j_{i}!}}\prod _{i=1}^{n-k+1}{\left({\frac {x_{i}}{i!}}\right)^{j_{i}}}}
ただしこの和は、
∑
i
=
1
n
−
k
+
1
j
i
=
k
∧
∑
i
=
1
n
−
k
+
1
i
j
i
=
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-k+1}j_{i}=k\land \sum _{i=1}^{n-k+1}ij_{i}=n}
を満たすすべての非負整数の列 j 1 , j 2 , j 3 , …, j n −k +1
次の和
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
はしばしば n 次完全ベル多項式 と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 B n ,k
完全ベル多項式は次の等式を満たす。
B
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
det
[
x
1
(
n
−
1
1
)
x
2
(
n
−
1
2
)
x
3
(
n
−
1
3
)
x
4
(
n
−
1
4
)
x
5
⋯
⋯
x
n
−
1
x
1
(
n
−
2
1
)
x
2
(
n
−
2
2
)
x
3
(
n
−
2
3
)
x
4
⋯
⋯
x
n
−
1
0
−
1
x
1
(
n
−
3
1
)
x
2
(
n
−
3
2
)
x
3
⋯
⋯
x
n
−
2
0
0
−
1
x
1
(
n
−
4
1
)
x
2
⋯
⋯
x
n
−
3
0
0
0
−
1
x
1
⋯
⋯
x
n
−
4
0
0
0
0
−
1
⋯
⋯
x
n
−
5
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
⋮
0
0
0
0
0
⋯
−
1
x
1
]
.
{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}
例えば、次が得られる。
B
6
,
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
=
6
x
5
x
1
+
15
x
4
x
2
+
10
x
3
2
.
{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}
なぜならば
6 の集合を 5 + 1 に分割する方法は 6 通り
6 の集合を 4 + 2 に分割する方法は 15 通り
6 の集合を 3 + 3 に分割する方法は 10 通り だからである。同様に
B
6
,
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
=
15
x
4
x
1
2
+
60
x
3
x
2
x
1
+
15
x
2
3
{\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}
が得られる。なぜならば
6 の集合を 4 + 1 + 1 に分割する方法は 15 通り
6 の集合を 3 + 2 + 1 に分割する方法は 60 通り
6 の集合を 2 + 2 + 2 に分割する方法は 15 通り だからである。
B
n
,
k
(
1
!
,
2
!
,
…
,
(
n
−
k
+
1
)
!
)
=
(
n
k
)
(
n
−
1
k
−
1
)
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!}
ベル多項式 B n ,k x 1 ,x 2 , …) のすべての x が 1 に等しいときの値は、第二種スターリング数 である。すなわち
B
n
,
k
(
1
,
1
,
…
)
=
S
(
n
,
k
)
=
{
n
k
}
{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}
である。
数列 xn , yn , n = 1, 2, …,畳み込み を次のように定める。
(
x
♢
y
)
n
=
∑
j
=
1
n
−
1
(
n
j
)
x
j
y
n
−
j
{\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}}
ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n − 1 であることに注意されたい。
x
n
k
♢
{\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}
n 番目の項とする。
x
♢
⋯
♢
x
⏟
k
f
a
c
t
o
r
s
.
{\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {factors} }.}
このとき、次が成り立つ。
B
n
,
k
(
x
1
,
…
,
x
n
−
k
+
1
)
=
x
n
k
♢
k
!
.
{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}
例えば、
B
4
,
3
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
…
)
{\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}
x
♢
x
=
(
0
,
2
x
1
2
,
6
x
1
x
2
,
8
x
1
x
3
+
6
x
2
2
,
…
)
{\displaystyle x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}
x
♢
x
♢
x
=
(
0
,
0
,
6
x
1
3
,
36
x
1
2
x
2
,
…
)
{\displaystyle x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}
であるため、
B
4
,
3
(
x
1
,
x
2
)
=
(
x
♢
x
♢
x
)
4
3
!
=
6
x
1
2
x
2
{\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}}
となる。
ベル多項式を用いることで、ファー・ディ・ブルーノの公式 （英語版 ）
d
n
d
x
n
f
(
g
(
x
)
)
=
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
(
g
(
x
)
)
B
n
,
k
(
g
′
(
x
)
,
g
″
(
x
)
,
…
,
g
(
n
−
k
+
1
)
(
x
)
)
.
{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}
同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今
f
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
a
n
d
g
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
b
n
n
!
x
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad \mathrm {and} \qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}
とすれば、
g
(
f
(
x
)
)
=
∑
n
=
1
∞
∑
k
=
1
n
b
k
B
n
,
k
(
a
1
,
…
,
a
n
−
k
+
1
)
n
!
x
n
{\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}
となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数 の指数関数の中に、次のように現れる。
exp
(
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
)
=
∑
n
=
0
∞
B
n
(
a
1
,
…
,
a
n
)
n
!
x
n
.
{\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.}
次の和
B
n
(
κ
1
,
…
,
κ
n
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
κ
1
,
…
,
κ
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}
は、初めの n 個のキュムラント が κ1 , …, κn 確率分布 の n 次モーメント である。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。
任意のスカラー列 a 1 , a 2 , a 3 , … に対し、次を定める。
p
n
(
x
)
=
∑
k
=
1
n
B
n
,
k
(
a
1
,
…
,
a
n
−
k
+
1
)
x
k
.
{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}
このとき、この多項式列は二項型多項式列 である。すなわち、二項等式
p
n
(
x
+
y
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
p
k
(
x
)
p
n
−
k
(
y
)
{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}
が n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。
定理 すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。今
h
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
!
x
n
{\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}
とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し
h
−
1
(
d
d
x
)
p
n
(
x
)
=
n
p
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
が成り立つ。
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