ミッテンプンクト

幾何学において、ミッテンプンクト(英:Mittenpunkt)とは三角形のユークリッド変換(英語版)について不変である三角形の中心である。ドイツ語で中心点を意味する言葉に由来する。1836年、ナーゲルによって傍心三角形の類似重心であることが発見された^[1]^[2]。

座標[編集]

ミッテンプンクトの三線座標は以下の式で与えられる^[1]^[3]。

(b+c-a):(c+a-b):(a+b-c)

=\cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}

=\csc A+\cot A:\csc B+\cot B:\csc C+\cot C

ここで $a$ , $b$ , $c$ は三角形の辺の長さで、 $A$ , $B$ , $C$ は角の大きさである。

重心座標では以下の様に与えられる^[3] 。 $a(b+c-a):b(c+a-b):c(a+b-c)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).$

ミッテンプンクトは重心とジェルゴンヌ点を結ぶ直線、内心と類似重心を結ぶ直線、垂心とシュピーカー点を結ぶ直線の交点である^[4]。

^ ^a ^b Kimberling, Clark (1994), “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”, Mathematics Magazine 67 (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021, https://jstor.org/stable/2690608
^ v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig
^ ^a ^b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月20日閲覧。
^ “The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry”. Paul Yiu. 2024年3月20日閲覧。
^ Eddy, Roland H. (1989), “A Desarguesian dual for Nagel's middlespoint”, Elemente der Mathematik 44 (3): 79–80, MR999636, http://eudml.org/doc/141457 .
^ Weisstein, Eric W.. “Gergonne Line” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月20日閲覧。
^ Gibert, Bernard (2004), “Generalized Mandart conics”, Forum Geometricorum 4: 177–198, MR2130231 .