モンジュ点

3次元ユークリッド幾何学における四面体のモンジュ点（モンジュてん）は、任意の四面体に対し一意的に存在する点である。名前はフランスの数学者ガスパール・モンジュに由来する。

定義

四面体の各辺の中点を通りその辺とねじれの位置にある辺（以下「対辺」と呼ぶ）に垂直な6つの面は1点で交わる。この点がモンジュ点である。

性質

モンジュ点をMとする。

• 四面体の外接球の中心をO、重心をGとすると、OG = GM。
• 四面体の各頂点から対面におろした垂線が1点で交わる場合、この点はモンジュ点に一致する。

証明

ある辺の中点Pと、対辺の中点Qをとると、PQの中点は四面体の重心になる。重心に対し外接球の中心と対称の位置にある点をMとすると、POQMは平行四辺形になる。PMとQOが平行で、QOは対辺に直交するので、Pを通り対辺に垂直な平面はMを通る。どの辺に対しても同じことがいえるのでこれらの平面は1点Mで交わる。

参考文献

• 一松信・畔柳和生『重心の幾何学』（現代数学社）ISBN 978-4-7687-0437-0

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "モンジュ点". mathworld.wolfram.com (英語).