ラグランジュの定理 (群論)

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である^[1]^[2]^[3]^[4]。

ラグランジュの定理 ― $G$ を有限群とし、 $H$ を $G$ の部分群とする。このとき $| G | = [G : H] | H |$ が成り立つ。ただし、 $[G : H]$ は $G$ における $H$ の指数である。

定義

部分群による同値関係

群 $G$ の要素 $x, y$ に関して、群 $G$ の部分群 $H$ の要素 $h$ を用いて、 $x = yh$ となるとき、 $x ～ y$ と定義する。 $G$ の単位元を $e$ とすると、 $H$ は部分群だから $e \in H$ であり、 $x = xe$ となるので、 $x ～ x$ である。 $h \in H$ のとき、 $H$ は部分群だから $h -1 \in H$ となるので、 $x ～ y$ のとき、 $x = yh \Leftrightarrow xh -1 = y$ となり $y ～ x$ である。 $x, y, z \in G$ に関して、 $x ～ y, y ～ z$ ならば $x = yh 1, y = zh 2 (h 1, h 2 \in H)$ だから $x = (zh 2) h 1 = z (h 2 h 1)$ となる。 $H$ は部分群なので、 $h 2 h 1 \in H$ となるから $x ～ z$ である。したがって、 $～$ は同値関係になる^[5]^[6]^[7]^[8]。

同値関係による同値類

部分群 $H$ に関して、同値関係 $～$ による同値類 ${x \in G | x ～ a}$ は ${x \in G | x = ah (h \in H)}$ になるから、 $aH$ に等しくなる。これを $a$ の $H$ による左剰余類（left coset）という。同値関係 $～$ による同値類 $aH$ の集合 ${aH | a \in G}$ を $G / H$ と書く^[9]^[6]^[10]。

部分群 $H$ が有限群の場合は $H = {h 1, h 2, h 3, \dots, h m}$ と表すことができて、左剰余類 $aH$ は $aH = {ah 1, ah 2, ah 3, \dots, ah m}$ となる^[2]。

同値類の間の同型写像

部分群 $H$ から同値類 $aH$ への写像 $φ a : H \to aH$ を $φ a (h) = ah$ と定義するとき、 $φ a (h 1) = φ a (h 2)$ とすると、 $ah 1 = ah 2$ となるから、左から $a -1$ を掛けて $h 1 = h 2$ となるので、写像 $φ a$ は単射になる。写像 $φ a$ による部分群 $H$ の像が $aH$ だから写像 $φ a$ は全射になり、全単射になる。したがって、写像 $φ a$ の逆写像 $φ a -1 : aH \to H$ は $φ a -1 (x) = a -1 x$ となる。これより、同値類 $aH$ から同値類 $bH$ への写像 $f : aH \to bH$ を $f (x) = (φ b ⚬ φ a -1)(x) = φ b (φ a -1 (x)) = ba -1 x$ と定義すると写像 $f$ は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 $aH$ と $bH$ は同型となり、 $| aH | = | bH | = | H |$ となる^[9]^[11]。

同値類による指数

左剰余類の集合 $G / H$ の要素の個数（濃度）である $| G/H |$ を $G$ における $H$ の指数（index of a subgroup $H$ in a group $G$ ）と呼び、 $[G : H]$ または $| G : H |$ または $(G : H)$ と書く^[5]^[6]^[12]。

$G / H$ が有限集合の場合は、 $G / H = {a 1 H, a 2 H, a 3 H, \dots, a k H}$ と表すことができて、 $[G : H] = | G / H | = k$ となる。

$G$ が有限群の場合は、以下のように書ける^[2]：

{\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}

証明

有限群 $G$ の部分群 $H$ を ${h 1, h 2, \dots, h m}$ とすると、

H=\{h_{1},h_{2},h_{3},\dotsc ,h_{m}\}.

左剰余類 $aH$ は ${ah 1, ah 2, ah 3, \dots, ah m}$ に等しくなる^[13]ので、

aH=\{ah_{1},ah_{2},ah_{3},\dotsc ,ah_{m}\}.

このとき、 $H$ の要素 $h$ に $ah$ を対応させる写像を $f ： H \to aH$ とすると、 $f (h i) = f (h j) \Leftrightarrow ah i = ah j$ のとき、左から $a -1$ を掛けて、 $h i = h j$ となるので、写像 $f$ は単射になる。

写像 $f$ は $H$ を $aH$ に写すから $f$ は全射となるので、全単射になる。したがって、 $H$ と $aH$ とは同じ個数の要素を待つから、 $| H | = | aH | = m$ となる^[14]。

したがって、 $G$ の $H$ による類別を考えると、以下のようになる^[15]。

{\begin{aligned}a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\dotsc ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\dotsc ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\dotsc ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\dotsc ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dotsc ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}

このとき、 $| H | = | a 1 H | = | a 2 H | = | a 3 H | = \dots = | a k H | = m$ となるので、 $| G | = km$ となる。 $k = | G / H | = [G : H], m = | H |$ となるので、

|G|=[G:H]\cdot |H|.

Q.E.D.

拡張

ラグランジュの定理は群 $G$ における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる^[16]^[17]。以下では、 $H$ が群 $G$ の部分群であるとき、 $H \leq G$ または $G \geq H$ と表し、 $H$ が群 $G$ の部分群であり、かつ $K$ が群 $H$ の部分群であるとき、 $K \leq H \leq G$ または $G \geq H \geq K$ と表す。

ラグランジュの定理の拡張 ― $G\geq H\geq K\Longrightarrow [G:K]=[G:H]\,[H:K].$

証明 — 有限群 $G$ が部分群 $H$ によって以下のように類別されているとする：

G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{m}H.

このとき、部分群 $H$ の $G$ における指数は $[G:H]=m$ になる。

有限群 $H$ が部分群 $K$ によって以下のように類別されているとする：

H=b_{1}K\cup b_{2}K\cup b_{3}K\cup \cdots \cup b_{n}K.

このとき、部分群 $K$ の $H$ における指数は $[H:K]=n$ になる。

よって、 $H$ を $G$ に代入すると以下のように $G$ が部分群 $K$ によって類別される：

{\begin{aligned}G=&a_{1}b_{1}K\cup a_{1}b_{2}K\cup a_{1}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{1}b_{n}K\cup {}\\&a_{2}b_{1}K\cup a_{2}b_{2}K\cup a_{2}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{2}b_{n}K\cup {}\\&a_{3}b_{1}K\cup a_{3}b_{2}K\cup a_{3}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{3}b_{n}K\cup {}\\&\cdots \\&a_{m}b_{1}K\cup a_{m}b_{2}K\cup a_{m}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{m}b_{n}K.\end{aligned}}

したがって、部分群 $K$ の $G$ における指数は $[G:K]=mn$ になる。よって、

[G:K]=[G:H][H:K].

Q.E.D.

$G \geq H \geq K$ のとき $K = {e}$ （ $e$ は群 $G$ の単位元）とおくと $[G : {e}] = | G |$ および $[H : {e}] = | H |$ が成り立つ。したがって、元々の等式 $| G | = [G : H] | H |$ を得る^[18]。

応用

系(1)

ラグランジュの定理には、次のような系がある^[19]^[2]^[20]。

ラグランジュの定理の系(1) ― $G$ を有限群とし、 $H$ を $G$ の部分群とする。このとき部分群 $H$ の位数 $| H |$ は群 $G$ の位数 $| G |$ を割り切る。

|H|\,{\bigg |}\,|G|

.

証明: $G$ が有限群の場合は、指数 $[G : H]$ （ $G$ における $H$ の左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

系(2)

ラグランジュの定理の系(2) ― 有限群 $G$ の任意の元 $g$ の位数は群 $G$ の位数 $| G |$ を割り切る^[21]^[2]^[19]。

|\langle g\rangle |\,{\bigg |}\,|G|\Longleftrightarrow g^{|G|}=e

.

証明: 群 $G$ の任意の元 $g$ で生成される巡回群 ⟨ $g$ ⟩を考えればよい。巡回群 ⟨ $g$ ⟩は $G$ の部分群になるので、その位数 |⟨ $g$ ⟩| は群 $G$ の位数 $| G |$ を割り切ることになる。

素数位数の有限群

素数位数の有限群 ― 有限群 $G$ の位数が素数 $p$ ならば、群 $G$ は巡回群である^[2]^[22]。

証明: $p ≧ 2$ より、群 $G$ の単位元 $e$ 以外の元を $x$ とすると、 $x$ が生成する巡回群 $⟨ x ⟩$ は群 $G$ の部分群になるから、その位数 $|⟨ x ⟩|$ は素数 $p$ の約数になる。したがって、 $|⟨ x ⟩| = 1$ または $|⟨ x ⟩| = p$ になる。 $|⟨ x ⟩| = 1$ の場合は、 $x = e$ となり不適。 $|⟨ x ⟩| = p$ の場合は群 $G$ の位数と等しくなるので、 $G = ⟨ x ⟩$ となり題意は示された。

フェルマーの小定理

フェルマーの小定理 ― $p$ を素数とするとき、整数 $x \in ℤ$ が $p$ と互いに素ならば、 $x p - 1 \equiv 1 (mod p)$ となる^[23]。

証明: 位数 $p$ の巡回群 $(ℤ/ p ℤ)$ の乗法群 $(ℤ/ p ℤ) \times = {1, 2, 3, \dots , p - 1}$ は位数 $p - 1$ の有限群になるから、 $(ℤ/ p ℤ) \times$ の任意の元を $a$ とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、 $a p - 1 = 1$ が成り立つ。したがって、 $a \in {1, 2, 3, \dots, p - 1}$ のとき $a p - 1 - 1$ が素数 $p$ で割り切れるから、 $a p - 1 \equiv 1 (mod p)$ となる。よって、 $x \equiv a (mod p)$ のとき、 $x p - 1 \equiv a p - 1 (mod p)$ が成り立つので、 $x p - 1 \equiv 1 (mod p)$ を得る。

より一般に、合成数 $n$ についても乗法群 $(ℤ/ n ℤ) \times$ を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

逆

ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 $n$ の有限群 $G$ と $n$ を割り切る自然数 $d$ が与えられたとき「位数が $d$ である $G$ の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 $G = A 4$ が位数6である部分群をもたないので^{[注釈 1]}、（群 $G$ の位数が最小の）反例を与えるからである^[25]。一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である^{[注釈 2]}。つまり位数 $n$ を割り切る素数 $p$ のべきで最大のもの $d = n p$ を考えると、位数 $n p$ の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に $d$ が $n p$ を割り切るならば、位数 $d$ の部分群が存在することもわかる^[26]。（コーシーの定理も参照のこと。）

歴史

ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ この事実は1799年にはすでに知られていた^[24]。
^ 可解群に対してはホールの定理も参照のこと。

出典

^ 国吉 & 高橋 2001, 定理2.6.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 星 2016, p. 93.
^ 雪江 2010, 定理2.6.20.
^ Isaacs 2008, p. 331, Theorem X.8(d).
^ ^a ^b 国吉 & 高橋 2001, p. 21.
^ ^a ^b ^c 星 2016, p. 92.
^ 雪江 2010, 例2.6.6.
^ 雪江 2010, 注2.6.17.
^ ^a ^b 国吉 & 高橋 2001, 定理2.5.
^ 雪江 2010, 定義2.6.16.
^ 雪江 2010, 命題2.6.18.
^ 雪江 2010, 定義2.6.19.
^ #同値関係による同値類を参照。
^ #同値類の間の同型写像を参照。
^ #同値類による指数を参照。
^ Joh. “指数の定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。
^ Bray, Nicolas, Lagrange's Group Theorem, MathWorld
^ Joh. “ラグランジェの定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。
^ ^a ^b 雪江 2010, 系2.6.21.
^ Isaacs 2008, p. 332, Corollary X.9.
^ 国吉 & 高橋 2001, 定理2.7.
^ 雪江 2010, 命題2.6.22.
^ 雪江 2010, 定理2.6.23.
^ Gallian 1993, p. 23.
^ Isaacs 2008, p. 9.
^ Isaacs 2008, p. 24, Corollary 1.25.

参考文献

赤堀庸子「いわゆる「ラグランジュの定理」について」（PDF）『津田塾大学数学・計算機科学研究所報第12回数学史シンポジウム(2001.10.20〜21)』第23号、津田塾大学数学・計算機科学研究所、2002年、133-143頁。
国吉秀夫『群論入門』高橋豊文改訂（新訂版）、サイエンス社〈サイエンスライブラリ理工系の数学 8〉、2001年5月10日。ISBN 978-4-7819-0978-3。
星明考『群論序説』日本評論社、2016年3月25日。ISBN 978-4-535-78809-1。
雪江明彦『代数学　1　群論入門』日本評論社、2010年11月25日。ISBN 978-4-535-78659-2。
Gallian, Joseph A. (1993), “On the converse of Lagrange's theorem”, Math. Mag. 66 (1): 23, doi:10.2307/2690467, MR1572926, Zbl 0796.20019, http://www.jstor.org/stable/2690467
Isaacs, I. Martin (2008), Finite Group Theory, Graduate Studies in Mathematics, 92, AMS, doi:10.1090/gsm/092, ISBN 978-0-8218-4344-4, MR2426855, Zbl 1169.20001

外部リンク

ラグランジェの定理 - 物理のかぎしっぽ
2013 年度前期離散数学講義資料(9): 群 (PDF)
Bray, Nicolas. "Lagrange's Group Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).

動画

[25] この事実は1799年にはすでに知られていた^[24]。

[27] 可解群に対してはホールの定理も参照のこと。

[FOOTNOTE国吉高橋2001定理2.6-1] 国吉 & 高橋 2001, 定理2.6.

[FOOTNOTE星201693-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 星 2016, p. 93.

[FOOTNOTE雪江2010定理2.6.20-3] 雪江 2010, 定理2.6.20.

[FOOTNOTEIsaacs2008331Theorem_X.8(d)-4] Isaacs 2008, p. 331, Theorem X.8(d).

[FOOTNOTE国吉高橋200121-5] 国吉 & 高橋 2001, p. 21.

[FOOTNOTE星201692-6] 星 2016, p. 92.

[FOOTNOTE雪江2010例2.6.6-7] 雪江 2010, 例2.6.6.

[FOOTNOTE雪江2010注2.6.17-8] 雪江 2010, 注2.6.17.

[FOOTNOTE国吉高橋2001定理2.5-9] 国吉 & 高橋 2001, 定理2.5.

[FOOTNOTE雪江2010定義2.6.16-10] 雪江 2010, 定義2.6.16.

[FOOTNOTE雪江2010命題2.6.18-11] 雪江 2010, 命題2.6.18.

[FOOTNOTE雪江2010定義2.6.19-12] 雪江 2010, 定義2.6.19.

[13] #同値関係による同値類を参照。

[14] #同値類の間の同型写像を参照。

[15] #同値類による指数を参照。

[16] Joh. “指数の定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。

[17] Bray, Nicolas, Lagrange's Group Theorem, MathWorld

[18] Joh. “ラグランジェの定理”. 物理のかぎしっぽ. 2020年9月21日閲覧。

[FOOTNOTE雪江2010系2.6.21-19] 雪江 2010, 系2.6.21.

[FOOTNOTEIsaacs2008332Corollary_X.9-20] Isaacs 2008, p. 332, Corollary X.9.

[FOOTNOTE国吉高橋2001定理2.7-21] 国吉 & 高橋 2001, 定理2.7.

[FOOTNOTE雪江2010命題2.6.22-22] 雪江 2010, 命題2.6.22.

[FOOTNOTE雪江2010定理2.6.23-23] 雪江 2010, 定理2.6.23.

[FOOTNOTEGallian199323-24] Gallian 1993, p. 23.

[FOOTNOTEIsaacs20089-26] Isaacs 2008, p. 9.

[FOOTNOTEIsaacs200824Corollary_1.25-28] Isaacs 2008, p. 24, Corollary 1.25.

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