有限単純群の分類

有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。

この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン（英語版）、ソロモン（英語版）らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。^[1] (有限単純群の分類問題のあらすじ解説 ^[2])

分類定理の主張

→詳細は「en:List of finite simple groups」を参照

分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である:

以下3つの無限個クラスの群:
- 素数位数の巡回群 $C p$
- 次数5以上の交代群 $A n$
- リー型の単純群
26の散在型単純群（英語版）
ティッツ群（英語版） $2 F 4 (2)'$ - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある

分類定理は数学の多くの分野において応用がある。有限群（また他の数学的対象に対するそれらの作用）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。

1983年にダニエル・ゴーレンシュタインは有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。しかしこれは準薄群（英語版）の分類の証明についての錯誤があったため尚早であった。欠けていた準薄のケースについての1221ページにも及ぶ証明がアシュバッハーとスミスにより出版された後に、分類定理の証明の完成が Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。

有限単純群の一覧

以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。

クラス	表記	位数	例外	重複
素数位数の巡回群	C_p, Z_p	p	なし	なし
交代群	A_n (n > 4)	${\frac {n!}{2}}$	なし	A₅ ≃ A₁(4) ≃ A₁(5) A₆ ≃ A₁(9) A₈ ≃ A₃(2)
リー型の群
クラス	表記	位数	例外	重複
古典的シュヴァレー群	A_n(q)	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	A₁(2)^{[注釈 1]}, A₁(3)^{[注釈 2]}	A₁(4) ≃ A₁(5) ≃ A₅ A₁(7) ≃ A₂(2) A₁(9) ≃ A₆ A₃(2) ≃ A₈
	B_n(q) (n > 1)	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	B₂(2)^{[注釈 3]}	B_n(2^m) ≃ C_n(2^m) B₂(3) ≃ ²A₃(2²)
	C_n(q) (n > 2)	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	なし	C_n(2^m) ≃ B_n(2^m)
	D_n(q) (n > 3)	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	なし	なし
例外的シュヴァレー群	E₆(q)	${\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	なし	なし
	E₇(q)	${\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)$	なし	なし
	E₈(q)	$q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)$	なし	なし
	F₄(q)	$q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	なし	なし
	G₂(q)	$q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)$	G₂(2)^{[注釈 4]}	なし
古典的スタインバーグ群	²A_n(q²) (n > 1)	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	²A₂(2²)^{[注釈 5]}	²A₃(2²) ≃ B₂(3)
古典的スタインバーグ群	²D_n(q²) (n > 3)	${\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	なし	なし
例外的スタインバーグ群	²E₆(q²)	${\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)$	なし	なし
例外的スタインバーグ群	³D₄(q³)	$q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)$	なし	なし
鈴木群	²B₂(q) q = 2^{2n + 1} n≥ 1	$q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)$	なし	なし
リー群	²F₄(q) q = 2^{2n + 1} n≥ 1	$q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	²F₄(2)^{[注釈 6]}	なし
リー群	²G₂(q) q = 3^{2n + 1} n≥ 1	$q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	なし	なし

ティッツ群^{[注釈 7]}	²F₄(2)'	2¹²(2⁶ + 1)(2⁴ − 1)(2³ + 1)(2 − 1)/2 = 17971200
散在型の群
クラス	表記	位数
マシュー群	M₁₁	7920
	M₁₂	95040
	M₂₂	443520
	M₂₃	10200960
	M₂₄	244823040
ヤンコ群	J₁	175560
	J₂	604800
	J₃	50232960
	J₄	86775571046077562880
コンウェイ群	Co₃	495766656000
	Co₂	42305421312000
	Co₁	4157776806543360000
フィッシャー群	Fi₂₂	64561751654400
	Fi₂₃	4089470473293004800
	Fi₂₄'	1255205709190661721292800
ヒグマン＝シムズ群	HS	44352000
マクラハラン群	McL	898128000
ヘルド群	He	4030387200
ルドヴァリス群	Ru	145926144000
散在型鈴木群	Suz	448345497600
オナン群	O'N	460815505920
原田＝ノートン群	HN	273030912000000
ライオンズ群	Ly	51765179004000000
トンプソン群	Th	90745943887872000
ベビーモンスター群	B	4154781481226426191177580544000000
モンスター群（フィッシャー＝グリース・モンスター群）	M	808017424794512875886459904961710757005754368000000000

位数の小さな非可換有限単純群の一覧

位数の小さなものから20個を以下に列挙する。^[3]

群	位数
A₅	60
A₁(7)	168
A₆	360
A₁(8)	504
A₁(11)	660
A₁(13)	1092
A₁(17)	2448
A₇	2520
A₁(19)	3420
A₁(16)	4080
A₂(3)	5616
²A₂(9)	6048
A₁(23)	6072
A₁(25)	7800
M₁₁	7920
A₁(27)	9828
A₁(29)	12180
A₁(31)	14880
A₈	20160
A₂(4)	20160

分類定理の概観

Gorenstein (1982, 1983) は2巻からなる証明の低階数（英語版）および奇数標数パートの要点を著し、 Michael Aschbacher, Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011) は残る標数2のケースを補う第3巻を著した。この証明は以下の幾つかの主要な部分へと分けることが出来る:

小さな階数2の群

成分型の群

標数2型の群

単純群の存在と一意性

証明の歴史

ゴーレンシュタインの問題

証明のタイムライン

以下のリストは多くが Solomon (2001) より取られている。年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。^{[注釈 8]}

出版年
1832	ガロアが正規部分群を導入し、 $A n (n \geq 5)$ と $PSL 2 (F p) (p \geq 5)$ が単純群であることを発見する。
1854	ケイリーが抽象群を定義する。
1861	マシュー（英語版）が最初の2つのマシュー群（英語版） $M 11$ と $M 12$ を発見し、また $M 24$ の存在も報告している。
1870	ジョルダンが幾つかの単純群を列挙した: 交代・射影特殊線型群。そして単純群の重要さを強調した。
1872	シローがシローの定理を証明した。
1873	マシューが更に3つのマシュー群 $M 22$ , $M 23$ , $M 24$ を導入した。
1892	オットー・ヘルダーが、任意の非可換有限単純群の位数が少なくとも4つの（互いに異なるとは限らない）素数の積となることを証明した。また有限単純群の分類について問うた。
1893	コールが位数660までの単純群を分類する。
1896	フロベニウスとバーンサイドが有限群の指標理論の研究を開始した。
1899	バーンサイドが、全ての対合の中心化群が非自明な基本アーベル2-群であるような単純群の分類を行った。
1901	フロベニウスが、フロベニウス群（英語版）がフロベニウス核を持ち、それ故に単純群でないことを証明した。
1901	ディクソンが、任意の有限体上の古典群（英語版）および、標数が奇数の体上の $G 2$ 型の例外群を定義した。
1901	ディクソンが $E 6$ 型の例外有限単純群を導入した。
1904	バーンサイドが指標理論を用いて、非可換な有限単純群の位数は少なくとも3つの異なる素数によって割り切れるというバーンサイドの定理を証明した。
1905	ディクソンが偶数標数の体上の $G 2$ 型の単純群を導入した。
1911	バーンサイドが全ての非可換有限単純群は偶数の位数を持つのではないかと推測した。
1928	ホール（英語版）が、可解群のホール部分群の存在を証明した。
1933	ホールが $p$ -群の研究を開始した。
1935	ブラウアー（英語版）がモジュラー指標の研究を開始した。
1936	ザッセンハウス（英語版）が有限強3重可移置換群を分類した。
1938	フィッティング（英語版）がフィッティング部分群を導入し、可解群において、フィッティング部分群がその中心化群を含んでいるというフィッティングの定理の証明を行った。
1942	ブラウアーがある素数の1乗でちょうど割り切れる群のモジュラー指標を記述した。
1954	ブラウアーが $GL 2 (F q)$ を対合の中心化群としてもつ単純群を分類した。
1955	ブラウアー・ファウラーの定理（英語版）が与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個であることを示し、このことから対合の中心化群を用いて群の分類を進められることが提案される。
1955	シュヴァレーがシュヴァレー群（英語版）を導入し、 $F 4$ , $E 7$ , $E 8$ 型の例外単純群を与えた。
1956	ホール・ヒグマンの定理（英語版）
1957	鈴木通夫が、奇数位数の全ての有限単純CA群（英語版）は巡回的であることを示した。
1958	ブラウアー・鈴木・ウォールの定理（英語版）がランク1の射影特殊線型群を特徴付け、単純CA群の分類を行う。
1959	スタインバーグ（英語版）がスタインバーグ群（英語版）を導入し、 $3 D 4$ , $2 E 6$ 型の新しい有限単純群を与えた（後者はジャック・ティッツによっても独立に発見されている）。
1959	ブラウアー・鈴木の定理により、特に一般四元数群をシロー2部分群にもつ群は単純ではないことが示された。
1960	トンプソンが、素数位数の固定点のない自己同型をもつ群が巾零であることを証明した。
1960	ファイト（英語版）とホールとトンプソンが、全ての奇数位数の有限単純CN群（英語版）が巡回的であることを示した。
1960	鈴木が鈴木群（英語版）を導入した、これは $B 2$ 型を持つ。
1961	李林學（英語版）が李群（英語版）を導入した、これは $2 F 4$ , $2 G 2$ 型を持つ。
1963	ファイトとトンプソンがファイト・トンプソンの定理（奇数位数定理）（英語版）を証明した。
1964	ティッツがリー型の群についてBN対を導入し、ティッツ群（英語版）を発見した。
1965	ゴーレンシュタイン・ウォルターの定理（英語版）により2面体シロー2部分群をもつ群が分類される。
1966	グラウバーマン（英語版）がZ*定理（英語版）を証明する。
1966	ヤンコ（英語版）がヤンコ群 J1（英語版）を導入する。これは20世紀になって初めての新しい散在型単純群の発見であった。
1968	グラウバーマンがZJ定理（英語版）を証明する。
1968	ヒグマン（英語版）とシムス（英語版）がヒグマン・シムス群（英語版）を導入する。
1968	コンウェイがコンウェイ群（英語版）を導入する。
1969	ウォルターの定理（英語版）により、可換シロー2部分群をもつ群が分類される。
1969	散在型鈴木群（英語版）・ヤンコ群 J2（英語版）・同J3（英語版）・マクラハン群（英語版）・ヘルド群（英語版）が導入された。
1969	ゴーレンシュタインがトンプソンのアイディアに基づき、信号関手（英語版）を導入する。
1970	MacWilliams が、ランク3の正規可換部分群をもつ2群は多くとも4つの sectional 2ランクを持つことを示した。（後者の条件を満たすシロー部分群をもつ単純群は、後にゴーレンシュタインと原田耕一郎により分類される）
1970	ヘルムート・ベンダー（ドイツ語版）が一般化フィッティング部分群（英語版）を導入する。
1970	アルペリン・ブラウアー・ゴーレンシュタインの定理（英語版）により、準2面体や wreathed なシロー2部分群をもつ群が分類される。これにより、最大でもランク2の単純群の分類が完成する。
1971	フィッシャー（英語版）がフィッシャー群（英語版）を導入する。
1971	トンプソンが2次対 ?（英語版）を導入する。
1971	ベンダーが強く埋め込まれた部分群（英語版）をもつ群を分類する。
1972	ゴーレンシュタインが有限単純群を分類するための16ステップのプログラムを提案する。最終的に得られた分類も、このアウトラインにとてもよく沿っている。
1972	ライアン（英語版）がライアン群（英語版）を導入する。
1973	ラドヴァリス（英語版）がラドヴァリス群（英語版）を導入する。
1973	フィッシャーがベビーモンスター群（英語版）を発見する（未出版）。これはフィッシャーとグライス（英語版）がモンスター群を発見するために用いたものである。またモンスター群は、トンプソンをトンプソン散在群（英語版）へと、そしてノートン（英語版）を原田・ノートン群（英語版）へと（ただしこれは原田により異なる手法で既に発見されていた）導いた。
1974	トンプソンがN群（英語版）（可解な局所部分群をもつ群）を分類する。
1974	ゴーレンシュタイン・原田の定理（英語版）により、sectional 2-rank at most 4 の単純群が分類された。その結果、残る有限単純群は成分型か指標2型の群へと分類される。
1974	ティッツが、最低でもランク3のBN対をもつ群がリー型の群であることを示す。
1974	アシュバッハーが proper 2-generated core をもつ群を分類した。
1975	ゴーレンシュタインとウォルターが L-balance theorem を証明する。
1976	グラウバーマンが可解な信号関手定理を証明する。
1976	アシュバッハーが component theorem を証明する。これは大ざっぱに言うと、幾つかの条件を満たす奇数型の群が標準形において成分を持つと言うことを示している。標準形の成分をもつ群は、多くの著者による論文の巨大なコレクションにおいて分類が成されている。
1976	オナン（英語版）がオナン群（英語版）を導入する。
1976	ヤンコがヤンコ群 J4（英語版）を導入する。これが最後に発見された散在型単純群である。
1977	アシュバッハーが奇数標数をもつリー型の群を、彼の古典対合定理（英語版）を基に特徴付ける。単純群の「ほとんど」を扱うこの定理により、分類の終わりが間近に迫ってきたと広く感じられるようになった。
1978	Timmesfeldが $O 2$ extra-special 定理を証明した。このことで、 $GF(2)$ 型の群（英語版）の分類が、幾つかの小さな問題へと分割された。
1978	アシュバッハーが薄い群（英語版）、すなわち偶数標数の体上のリー型のランク1の群を分類した。
1981	ボンビエリが消去定理（英語版）を用いて李群の特徴付けにおけるトンプソンの仕事を完成させた。これは分類における最も困難なステップの一つであった。
1982	Patrick P. McBride がすべての有限群について信号関手定理を証明した。
1982	グライスが手作業によりモンスター群を構成した。
1983	ギルマン・グライスの定理（英語版）により、標数2型かつ標準成分をもつ少なくともランク4の群が、3分法定理（英語版）の3つのケースのどれか一つに分類される。
1983	アシュバッハーが uniqueness case の仮説を満足する有限群が存在しないことを証明した。uniqueness case とは、標数2型の群についての3分法定理が与える3つのケースの内の1つである、
1983	ゴーレンシュタインとライアンが、標数2型かつ少なくともランク4の群について3分法定理を証明する。一方アシュバッハーはランク3の群について証明した。このことでこれらの群は、3つの小ケースに分割された：すなわち、uniqueness case・ $GF(2)$ 型の群・標準成分をもつ群である。
1983	ゴーレンシュタインが、分類の証明が完了したとアナウンスした。しかし準薄（英語版）ケースの証明が不完全であったため、これは尚早であった。
1994	ゴーレンシュタイン、ライアン、ソロモン（英語版）が、改訂された分類の出版を開始した。
2004	アシュバッハーとスミス（ドイツ語版）が準薄群（すなわち偶数標数の体上の多くともランク2のリー型の群）について彼らの仕事を出版し、この時点で知られている分類の最後のギャップが埋められた。
2008	原田とソロモンがマシュー群 $M 22$ （英語版）をカバーする、標準成分をもつ群についての分類の小さなギャップを埋めた。これは $M 22$ のシューア乗数（英語版）についての計算において、誤って証明に欠落が生じていたためである。
2012	ジョルジュ・ゴンティエ（英語版）とその共同研究者達が、証明支援言語Coqを用いたファイト・トンプソンの定理の機械的チェックの成功をアナウンスした。^[4]

第2世代の分類

何故この証明はこんなにも長いのか？

ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。

最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
アティヤなどは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。
証明の簡略化ため、群の表現論をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。

分類の結論

この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。

シュライエル予想（英語版）
信号関手定理（英語版）
B予想（英語版）
全ての群に関するシューア・ザッセンハウスの定理（英語版）（これはファイト・トンプソンの定理のみを用いて）
1より多くの元をもつ有限集合上の可移置換群が、素数位数の固定点自由な元を持つこと。
2重可移置換群（英語版）の分類
階数3置換群（英語版）の分類
シムス予想 (Sims conjecture)
$x n =1$ の解の個数におけるフロベニウス予想（英語版）

脚注

[脚注の使い方]

注釈

^ 3次の対称群S₃と同型。
^ 4次の交代群A₄と同型。
^ 6次の対称群S₆と同型。
^ スタインバーグ群²A₂(9)と同型な指数2の正規部分群を持つ。
^ 位数8の四元数群Q₈の、位数9の基本アーベル群C₃×C₃による拡大の一つと同型。
^ ティッツ群²F₄(2)'と同型な指数2の正規部分群を持つ。
^ 李群の系列の例外²F₄(2)の正規部分群として得られる群であり、無限系列ではない。
^ よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。

出典

^ オーンズ 2015.
^ “P141 9. 有限単純群の分類問題について田中康彦（大分大学）構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）2019年” (2019年9月6日). 2024年7月3日閲覧。
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^ “Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq”. Msr-inria.inria.fr (2012年9月20日). 2012年9月25日閲覧。

参考文献

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Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
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Thompson, John G. (1984), “Finite nonsolvable groups”, in Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., Group theory. Essays for Philip Hall, Boston, MA: en:Academic Press, pp. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6, MR780566
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原田耕一郎『モンスター: 群のひろがり』岩波書店、1999年。ISBN 978-4000060554。
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外部リンク

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鈴木通夫「有限単純群の分類」『数学』第34巻、第3号、日本数学会、193–210頁、1982年。doi:10.11429/sugaku1947.34.193。
原田耕一郎「有限群論の成果と課題」『数学』第53巻、第1号、日本数学会、46–61頁、2001年。doi:10.11429/sugaku1947.53.46。
ATLAS of Finite Group Representations. - 多くの有限単純群について、群の表現などの情報を集めた、検索可能なデータベース
Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. - 位数 $1010$ までの全ての非可換単純群のリストを含む。
http://mathoverflow.net/questions/180355/in-what-sense-is-the-classification-of-all-finite-groups-impossible

[3] 3次の対称群S₃と同型。

[4] 4次の交代群A₄と同型。

[5] 6次の対称群S₆と同型。

[6] スタインバーグ群²A₂(9)と同型な指数2の正規部分群を持つ。

[7] 位数8の四元数群Q₈の、位数9の基本アーベル群C₃×C₃による拡大の一つと同型。

[8] ティッツ群²F₄(2)'と同型な指数2の正規部分群を持つ。

[9] 李群の系列の例外²F₄(2)の正規部分群として得られる群であり、無限系列ではない。

[11] よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。

[FOOTNOTEオーンズ2015-1] オーンズ 2015.

[2] “P141 9. 有限単純群の分類問題について田中康彦（大分大学）構成的ガロア逆問題と不変体の有理性問題（第27回整数論サマースクール報告集）2019年” (2019年9月6日). 2024年7月3日閲覧。

[10] “Orders of non abelian simple groups”. 2018年7月19日閲覧。

[12] “Feit-Thompson theorem has been totally checked in Coq”. Msr-inria.inria.fr (2012年9月20日). 2012年9月25日閲覧。

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[注釈 1]

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