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リーマン幾何学 において、リーマン幾何学の基本定理 (fundamental theorem of Riemannian geometry)は、任意のリーマン多様体 （あるいは、擬リーマン多様体 ）には、捩れのない 計量接続 が一意的に存在するという定理である。この接続は、与えられた計量のレヴィ・チヴィタ接続 計量 接続（あるいは、リーマン 接続）は、計量テンソル を保存する接続である。正確には、
リーマン幾何学の基本定理 ：(M , g ) をリーマン多様体 （あるいは、擬リーマン多様体 ）とすると、一意に次の条件を満たす接続 ∇ が存在する。
∂
X
⟨
Y
,
Z
⟩
=
⟨
∇
X
Y
,
Z
⟩
+
⟨
Y
,
∇
X
Z
⟩
,
{\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,}
ここに
∂
X
⟨
Y
,
Z
⟩
{\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle }
X に沿った函数
⟨
Y
,
Z
⟩
{\displaystyle \langle Y,Z\rangle }
∇
X
Y
−
∇
Y
X
=
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}
である。ここに [X , Y ] はベクトル場 X , Y のリーのブラケット である。 第一の条件は、計量テンソルは平行移動 により保存されることを意味し、一方、第二の条件は接続 ∇ の捩率テンソル が 0 であることを表している。
基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられると、一意に接続が存在し、任意のベクトル値 2-形式を持つ計量テンソル を捩率として保存するという定理となる。
次のテクニカルな証明は、局所座標系で接続の座標表現であるクリストッフェル記号 を示している。与えられた計量に対し、この（局所座標系を使う）方程式の集合は、むしろ複雑である。与えられた計量に対し、クリストッフェルの記号を使うよりも早く、より簡単な方法がある。この方法は、作用 積分やオイラー・ラグランジュ方程式を使う方法である。
m を M の次元とし、ある局所座標系で、標準座標のベクトル場
∂
i
=
∂
∂
x
i
,
i
=
1
,
…
,
m
.
{\displaystyle {\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\qquad i=1,\dots ,m.}
を考える。すると、局所的に、計量テンソルの要素 gij は、
g
i
j
=
⟨
∂
i
,
∂
j
⟩
{\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle }
として与えられる。接続を特定するためには、すべての i , j と k に対し、
⟨
∇
∂
i
∂
j
,
∂
k
⟩
{\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle }
であることで充分である。また、局所的には、接続 は、m 3 滑らかな函数であり、
{
Γ
l
i
j
}
,
{\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},}
により与えられる。ここに、
∇
∂
i
∂
j
=
∑
l
Γ
i
j
l
∂
l
{\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}}
である。捩れのない性質は、
∇
∂
i
∂
j
=
∇
∂
j
∂
i
{\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}}
を意味する。他方、リーマン計量との整合性は、
∂
k
g
i
j
=
⟨
∇
∂
k
∂
i
,
∂
j
⟩
+
⟨
∂
i
,
∇
∂
k
∂
j
⟩
{\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k}}\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _{i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle }
を意味する。固定された i , j と k に対し、置換すると 6 変数の 3つの方程式が与えられる。捩れのない前提は、変数の数が 3 となる。結果として現れる 3つの方程式の線型系は、一意な解
⟨
∇
∂
i
∂
j
,
∂
k
⟩
=
1
2
(
∂
i
g
j
k
−
∂
k
g
i
j
+
∂
j
g
i
k
)
.
{\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right).}
を与える。これは第一クリストッフェルの恒等式 (first Christoffel identity)である。
アインシュタインの総和記号を使い、
⟨
∇
∂
i
∂
j
,
∂
k
⟩
=
Γ
i
j
l
g
l
k
,
{\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk},}
を得る。すなわち、繰り返し使われるインデックスは、すべての値を渡り足し上げる。計量テンソルをひっくり返すと、第二クリストッフェルの恒等式 (second Christoffel identity)を得られる。
Γ
i
j
l
=
1
2
(
∂
i
g
j
k
−
∂
k
g
i
j
+
∂
j
g
i
k
)
g
k
l
.
{\displaystyle \Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)g^{kl}.}
繰り返すが、アインシュタイの総和記法を使う。結果として得られる唯一の接続は、レヴィ・チヴィタ接続 と呼ばれる。
リーマン幾何学の基本定理の別の証明は、リーマン多様体上の捩れのない接続は必然的にKoszul公式 (Koszul formula)により与えられることを示すことである。
2
g
(
∇
X
Y
,
Z
)
=
∂
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
+
∂
Y
(
g
(
X
,
Z
)
)
−
∂
Z
(
g
(
X
,
Y
)
)
+
g
(
[
X
,
Y
]
,
Z
)
−
g
(
[
X
,
Z
]
,
Y
)
−
g
(
[
Y
,
Z
]
,
X
)
.
{\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=\partial _{X}(g(Y,Z))+\partial _{Y}(g(X,Z))-\partial _{Z}(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}
このことは、レヴィ・チヴィタ接続の一意性を証明する。存在証明は、この表現では X と Z がテンソル的で、Y がライプニッツ則を満たし、よって接続を定義すること示すことで証明される。Y と Z の公式の対称的部分は、第一行の第一項であり、これは計量接続である。X と Y の公式の反対称部分は第二行の第一項である。
![{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca63c0cb31ba4d14004adb8d8ec84cced774a8e)
![{\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=\partial _{X}(g(Y,Z))+\partial _{Y}(g(X,Z))-\partial _{Z}(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430b9f217c0b6868497c3195c2253e91a65016ba)