ルジャンドル予想

数学上の未解決問題
$n 2$ と $(n +1) 2$ の間には常に少なくとも1つの素数が存在するか

ルジャンドル予想（英: Legendre's conjecture）とは、任意の自然数 $n$ について、 $n 2$ と $(n + 1) 2$ の間には必ず素数が存在するという予想である。フランスの数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルにより提起された。2022年現在、未解決問題となっている。

概要

ルジャンドル予想は素数の間隔に関連した予想の一つである。もし予想が正しいとすれば、素数 $p$ と次に大きい素数までの間隔は、高々 $\sqrt p$ のオーダーになる。スウェーデンの数学者ハラルド・クラメールは、素数の間隔がより小さく $(log p) 2$ のオーダーになると予想した。これが正しいとすれば、十分大きな $n$ に関してルジャンドル予想が成り立つことになる。

素数定理より、 $n 2$ と $(n + 1) 2$ の間に含まれる素数の個数（オンライン整数列大辞典の数列 A014085）は、 ${\frac {n}{\ln n}}$ に漸近する。これは $n$ が大きくなるに従い増加するから、ルジャンドル予想に信憑性を与えている。

進展

1975年に陳景潤が、任意の自然数 $n$ に対し $n 2$ と $(n + 1) 2$ の間には必ず素数か半素数が存在することを示した^[1]。

また予想と類似の結果として、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、 $n$ が十分大きければ $n 3$ と $(n + 1) 3$ の間には必ず素数が存在することを示している^[2]。

他にも、十分大きな $x$ について、区間 $[x,\,x+O(x^{\frac {21}{40}})]$ は必ず素数を含むということが証明されている^[3]。ここで $O (x)$ はランダウのO-記法である。

計算により、 $4 \times 10 18$ までの自然数に対し予想の正しさが確かめられている^[4]。もし $4 \times 10 18$ の付近に反例があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。

脚注

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^ http://mathworld.wolfram.com/LegendresConjecture.html
^ Ingham, A. E. (1937). “On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
^ Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. (2001). “The difference between consecutive primes, II”. Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3): 532–562. doi:10.1112/plms/83.3.532.
^ Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps

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[1] ttp://mathworld.wolfram.com/LegendresConjecture.html

[2] Ingham, A. E. (1937). “On the difference between consecutive primes”. Quarterly Journal of Mathematics Oxford 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.

[baker-3] Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. (2001). “The difference between consecutive primes, II”. Proceedings of the London Mathematical Society 83 (3): 532–562. doi:10.1112/plms/83.3.532.

[4] Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps

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概要

進展

関連項目

脚注