レーマーの予想

レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、デリック・ヘンリー・レーマー(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 $\mu >1$ が存在して、すべての整数係数の多項式 $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。

• $P(x)$ のマーラー測度 ${\mathcal {M}}(P(x))$ は $\mu$ より大きいかまたは等しい。

• $P(x)$ は、円分多項式もしくは単項式 $x$ の積の整数倍である。この場合は ${\mathcal {M}}(P(x))=1$ である。（同じことであるが、$P(x)$ のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。）

マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 $P(x)$ を $\mathbb {C}$ 上分解して

$P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})$

とし、

${\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)$

と定義するものがある。

知られている中で最も小さな（1 よりも大きい）マーラー測度は、レーマーの多項式

$P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1$

のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number)

${\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots$

である。

この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の $\mu =1.176280818\dots$ であると広く信じられている。

動機

一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、$P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})$ であれば、

${\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)$

であることを示している。（このパラグラフを通して、$m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))$ と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。）

このことは、$P$ が整数係数の多項式であれば、${\mathcal {M}}(P)$ が 1 以上の代数的数であり、従って、$m(P)\geq 0$ は代数的整数の対数であることを示している。また、もし $m(P)=0$ であれば、$P$ は、円分多項式、つまり、すべての根が 1 のべき根であるようなモニック多項式と、$x$ の単項式、つまり、ある $n$ に対してべき $x^{n}$ の積となることも示している。

レーマー(Lehmer)は、モニック多項式 $P$ に対する整数列 $\Delta _{n}={\text{Res}}(P(x),x^{n}-1)=\prod _{i=1}^{D}(\alpha _{i}^{n}-1)$ の研究の中で、$m(P)=0$ が重要な数値であることに気づいた。もし $P$ が円の上で 0 とならない場合は $\lim |\Delta _{n}|^{1/n}={\mathcal {M}}(P)$ であることは明らかであるが、円の上で 0 になる場合でさえも、このステートメントが成立するのではないだろうか。これにより、彼は次の問いに至った。

$P$ が非円分的なとき、$m(P)>c$ となるような定数 $c>0$ が存在するかどうか？

あるいは、

$c>0$ が与えられた場合、$0<m(P)<c$ となる整数係数の $P$ が存在するかどうか？

以下に見るように、いくつかの肯定的な答えが知られているが、しかし、レーマー予想は完全に証明されてはおらず、多くの興味深い問いが残っている。

部分的結果

$P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ を次数 $D$ の既約モニック多項式とする。スミス は、自己相反多項式でない、つまり、

$x^{D}P(x^{-1})\neq P(x)$

であるすべての多項式に対し、レーマーの予想は正しいことを証明した。

ブランクスビー(Blanksby)とヒュー・モンゴメリー(Montgomery)は、 で、ステワート(Stewart)とは独立に、絶対的な定数 $C>1$ が存在し、${\mathcal {M}}(P(x))=1$ かまたは、:$\log {\mathcal {M}}(P(x))\geq {\frac {C}{D\log D}}$ を満たすことを証明した。

ドブロウォルスキー(Dobrowolski) はこの結果を改善し

$\log {\mathcal {M}}(P(x))\geq C\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}$

とした。彼は、 C ≥ 1/1200 を得て、十分大きな D に対し漸近的に C > 1-ε も得ている。ボウティエール D ≥ 2 に対し C ≥ 1/4 を得ている。

楕円の類似

$E/K$ を数体 $K$ で定義された楕円曲線とし、${\hat {h}}_{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R}$ を標準的高さ（ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)とも言う）函数とする。標準的高さは、函数 $(\deg P)^{-1}\log {\mathcal {M}}(P(x))$ の楕円曲線の類似である。この高さについては、${\hat {h}}_{E}(Q)=0$ であることと、$Q$ が $E({\bar {K}})$ の中で捩れ点(torsion point)であることとは同値である。楕円レーマー予想(elliptic Lehmer conjecture)は、定数 $C(E/K)>0$ が存在し、すべての捩れのない点 $Q\in E({\bar {K}})$ に対して、

${\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}$

となるという予想である。ここに $D=[K(Q):K]$ とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、

${\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}$

となる。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果は、ダヴィッド・マッサー(David Masser)による

${\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}}$

という結果である。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて、ヒンドリー(Hindry)とジョゼフ・シルバーマン(Joseph H. Silverman)による

${\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}}$

という結果がある。

制限付きの結果

より強い結果が、多項式や代数的数に制限をつけた場合に得られている。

P(x) が相反ではないとき、

$M(P)\geq M(x^{3}-x-1)\approx 1.3247$

となり、これは明らかに最良の場合である。さらに、P の係数がすべて奇数であれば、

$M(P)\geq M(x^{2}-x-1)\approx 1.618$

となる。

αを任意の代数的数とするとき、体 Q(α) が Qのガロア拡大であれば、αの最小多項式に関しレーマー予想が成り立つ。

参考文献

• Smyth, Chris (2008). “The Mahler measure of algebraic numbers: a survey”. In McKee, James; Smyth, Chris. Number Theory and Polynomials. London Mathematical Society Lecture Note Series. 352. Cambridge University Press. pp. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9 

外部リンク

• http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ is a nice reference about the problem.
• Weisstein, Eric W. "Lehmer's Mahler Measure Problem". mathworld.wolfram.com (英語).