相対性理論 の物理学 において、ローレンツスカラー とは、その理論の要素から形成され、ローレンツ変換 のもとで不変なスカラー として評価される表現です。ローレンツスカラーは、例えばベクトルのスカラー積や、その理論のテンソルの縮約から生成されることがあります。ベクトルやテンソルの成分は一般的にローレンツ変換の下で変化しますが、ローレンツスカラー自体は変わりません。
ローレンツスカラーは、数学的な意味でのスカラー として常に不変であるとは限りませんが、その結果として得られるスカラー値は、考慮される理論が基づくベクトル空間に適用される任意の基底変換の下で不変です。ミンコフスキー時空 における単純なローレンツスカラーは、時空内の二つの固定された事象の時空間距離 （その差の"長さ"）です。事象の4元位置ベクトルは異なる慣性系間で変わりますが、その時空間距離は対応するローレンツ変換の下で不変です。ローレンツスカラーの他の例としては、4元ベクトルの"長さ"（以下参照）、または一般相対性理論 からの時空のある点におけるリッチ曲率 があり、これはそこでのリーマン曲率テンソル の縮約です。
異なる速度の二つの粒子の世界線。 特殊相対性理論 では、4次元の時空 内の粒子の位置は、次のように与えられます：
x
μ
=
(
c
t
,
x
)
{\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}
x
=
v
t
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
c
{\displaystyle c}
光速 です。
ベクトルの"長さ"はローレンツスカラーであり、次のように与えられます：
x
μ
x
μ
=
η
μ
ν
x
μ
x
ν
=
(
c
t
)
2
−
x
⋅
x
=
d
e
f
(
c
τ
)
2
{\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}
τ
{\displaystyle \tau }
ミンコフスキー計量 は次のように与えられます：
η
μ
ν
=
η
μ
ν
=
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
.
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}
しばしば、ミンコフスキー計量 においては、符号の配置が異なるバージョンが使われることがあります。
η
μ
ν
=
η
μ
ν
=
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
.
{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}
ミンコフスキー計量では、空間的な間隔<math> s </math>は、次のように定義されます：
x
μ
x
μ
=
η
μ
ν
x
μ
x
ν
=
x
⋅
x
−
(
c
t
)
2
=
d
e
f
s
2
.
{\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}
時空内の二つの異なる速度の粒子の速度ベクトル。相対性理論では、加速は時空内の回転と同等である 時空内の速度は、次のように定義されます：
v
μ
=
d
e
f
d
x
μ
d
τ
=
(
c
d
t
d
τ
,
d
t
d
τ
d
x
d
t
)
=
(
γ
c
,
γ
v
)
=
γ
(
c
,
v
)
{\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)}
γ
=
d
e
f
1
1
−
v
⋅
v
c
2
.
{\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}
v
μ
v
μ
=
−
c
2
.
{\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}
4-加速度は、次のように与えられます：
a
μ
=
d
e
f
d
v
μ
d
τ
.
{\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}
0
=
1
2
d
d
τ
(
v
μ
v
μ
)
=
d
v
μ
d
τ
v
μ
=
a
μ
v
μ
.
{\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}
d
E
d
τ
=
F
⋅
v
{\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }
[ 編集 ] 粒子の4元運動量は、次のように与えられます：
p
μ
=
m
v
μ
=
(
γ
m
c
,
γ
m
v
)
=
(
γ
m
c
,
p
)
=
(
E
c
,
p
)
{\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}}
<math> u </math>という4元ベクトルと<math> \mathbf{u}2 </math>という3元ベクトルを持つ第二の粒子を考えてみましょう。第二の粒子の静止フレームでは、<math> u </math>と<math> p </math>の内積は、第一の粒子のエネルギーに比例しています：
p
μ
u
μ
=
−
E
1
{\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}
この関係は、第二の粒子の静止フレームで真実であるので、任意の参照フレームでも真実です。 <math> E_1 </math>は、第二の粒子のフレームでの第一の粒子のエネルギーであり、ローレンツスカラーです。したがって、
E
1
=
γ
1
γ
2
m
1
c
2
−
γ
2
p
1
⋅
u
2
{\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}
粒子の静止フレームでの運動量の内積は、次のように与えられます：
p
μ
p
μ
=
−
(
m
c
)
2
.
{\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}
m )はローレンツスカラーです。この関係は、内積が計算されるフレームに関係なく、真実であるままです。多くの場合、静止質量は
m
0
{\displaystyle m_{0}}
γ
m
0
{\displaystyle \gamma m_{0}}
次のことに注意してください。
(
p
μ
u
μ
c
)
2
+
p
μ
p
μ
=
E
1
2
c
2
−
(
m
c
)
2
=
(
γ
1
2
−
1
)
(
m
c
)
2
=
γ
1
2
v
1
⋅
v
1
m
2
=
p
1
⋅
p
1
.
{\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}
第二の粒子のフレームでの3元ベクトルは、2つのローレンツスカラーから構築されます：
v
1
2
=
v
1
⋅
v
1
=
p
1
⋅
p
1
E
1
2
c
4
.
{\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}
スカラーは、テンソルやベクトル、テンソルの縮約（
F
μ
ν
F
μ
ν
{\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}
g
μ
ν
x
μ
x
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }}
Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English ed.). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7 
