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数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (英: center, 独: Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。
群の中心[編集]
を群とすると、その中心は集合
![{\displaystyle \mathrm {Z} (G):=\{z\in G\mid \forall g\in G:gz=zg\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36229c095ff4812e98b9f1298ad05670930ef340)
である。
の中心は部分群である。なぜならば、
と
を
の元とすると、任意の
に対して、
![{\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbec5a81088af8da1808565444db0e2874e188e)
なので、
も中心に入る。同様にして、
も中心に入る。
.
群の単位元
は常に中心に入る。
.
中心はアーベル群で
の正規部分群である。
の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。
がアーベル群であることと
は同値である。
中心はちょうど、
による共役、すなわち
が恒等写像であるような、
の元
からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。
である。
- 3次対称群(英語版)
の中心は単位元
のみからなる、なぜならば:
![{\displaystyle (1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72797120e6d13278f248b287aeb558d2b12eda4)
![{\displaystyle (1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d7452145c4d139cb081ba96ee9569c46b53bcf)
![{\displaystyle (1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30146bb0d52c3311d7bb4dd04066fcb259c32700)
![{\displaystyle (1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6138bc4d87b3b0346518325e58cffd57b67ad4)
- 二面体群
は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
- 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の(0 でない)実数倍からなる。
環の中心[編集]
環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。
![{\displaystyle \mathrm {Z} (R)=\{z\in R\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in R\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf97504b98f030055d8241617a80493772fe88b5)
中心
は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。
結合多元環の中心[編集]
結合多元環 A の中心は可換な部分多元環
![{\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{z\in A\mid za=az\ {\text{for all}}\ a\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d3c0ad7f6fbe4ef781f3e6be6c30a8c82189a6)
である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。
リー代数の中心[編集]
リー代数
の中心は(可換な)イデアル
![{\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{z\in {\mathfrak {g}}\mid [x,z]=0\ {\text{for all}}\ x\in {\mathfrak {g}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc9c5240fa5e78ed985c5e4bc6cdd4f3e43e0cd)
である。ただし
はブラケット積、つまり
の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。
- 一般線型群
の中心は単位行列
のスカラー倍からなる。
.
参考文献[編集]
外部リンク[編集]