利用者‐会話:Merliborn/sandbox/自然変換

双対ベクトル空間の例について

TODO:記事空間反映時に以下の内容を (推敲して) ノートに記載しておく

MacLane–Birkhoff (1999) 内に「有限次元ベクトル空間とその双対空間の間に自然な同型は存在しない」ということが書かれた記載はない。
- 有限次元ベクトル空間に対する $V ≅ V *$ の証明は一般に基底に依存した証明を行うため、それと比較して二重双対との間の同型は基底に依存しない、という書き方である (これは線形代数の教科書として一般的な記述である) ため、自然な同型が存在しないことはここからは読み取れない。
反変関手を逆圏からの関手だと考えると、共変関手である恒等写像の間に自然同型は定義上存在できない (cf. Riehl)。超自然変換の定義を用いることでこの問題は回避できるが、次のEilenberg–MacLane (1945)の議論によってやはり自然な同型は存在しないことが言える。
Eilenberg–MacLane (1945) には、「双対との間の自然な同型は存在しない」ということに関する議論が載っており、実際にある意味で双対との間の「自然な」同型は存在しない。