利用者‐会話:Morley41Wiki

一括投稿のお願い

こんにちは。Morley41Wikiさんが同じ記事に対して節ごとに分けて連続して投稿されているようでしたので、一括投稿のお願いに参りました。Wikipedia:同じ記事への連続投稿を減らすにあるとおり、同じ記事への連続投稿は履歴の見通しが悪くなるなど、さまざまな面で支障をきたすおそれがあります。細かい節がたくさんある場合は、節ごとに細かく投稿をするのではなく、上位の節または項目全体の編集を行い、一括して投稿していただきますようにお願いいたします。

投稿時、中央のボタンを押すとプレビューできます。（詳細画像）

その際に細かいところでミスを起こすのではないかと心配な場合は、「投稿する」ボタンの右隣にある「プレビューを実行」ボタンを活用されることをお勧めします（画面右側の図を参照）。投稿される前に「プレビューを実行」のボタンを押すと、成形結果を先に見ることができます。これを使うことで、

• マークアップ
• リンク
• 誤字脱字

などをあらかじめチェックし、修正した上で記事を投稿することができますので、是非ともご活用ください。

また、編集競合を避けたい場合は、Template:Inuseをお使いください。ご迷惑をおかけしますが、ご理解とご協力をよろしくお願いします。--夜飛（話/歴） 2010年1月31日 (日) 23:04 (UTC)

出典明記のお願い

Morley41Wikiさん、こんにちは。あなたがレスピラトリーキノロンにされた投稿内容はどの様な資料を根拠にされたものでしょうか？ウィキペディアの内容は「真実かどうか」ではなく「検証可能かどうか」が重視されており、「Wikipedia:検証可能性」が基本方針の一つとして定められていますので、出所不明な情報を投稿することはできません。また、「Wikipedia:独自研究は載せない」に明記されているとおり、個人的な見解に基づいた記述はウィキペディアでは歓迎されません。

投稿される際には「Wikipedia:出典を明記する」を参照し、信頼可能な解釈・評価・分析などの根拠となる出典を示してください。あわせて「Wikipedia:信頼できる情報源」もよくお読みいただき、適切な編集投稿をしていただきますようお願いいたします。--Trca（会話） 2014年5月1日 (木) 15:34 (UTC)

数式の記述について

Morley41Wiki さん、こんにちは。Glayhours です。 Morley41Wiki さんの編集した記事において、三角関数の関数名を sin のように斜体で書いている箇所が見受けられますが、 これは意図した記述なのでしょうか。標準的には、三角関数などの名前付きの特殊関数は立体で表すことになっていますし （たとえば TeX における \sin など）、他の記事との統一を図るためにも立体で書くべきだと思います。

もう一点、数式について、{{math}} と <math>...</math> を同じ箇所で使用していますが、ブラウザや利用者の設定によっては レイアウトが破壊され意図した通りの表現にならない危険性があるので、必ずどちらかに統一すべきです。 いくつかの定型的な表現については既にテンプレートが作成されています。たとえば分数は {{sfrac}} を用いて 1/1 − x などと書くことができます。こうしたテンプレート名の多くは TeX を意識した命名がなされているので同名のテンプレートを検索すれば、都合に応じたテンプレートを見つけられるはずです。

余計な手間を増やすことかも知れませんがよろしくお願いします。--Glayhours（会話） 2014年11月6日 (木) 18:10 (UTC)

了解しました。上記2点の指摘は、明らかに私がミステイクをしているせいです。今後改善します。--Morley41Wiki（会話） 2014年11月6日 (木) 23:52 (UTC)

三角関数の周期性に関して

「cos z, sin z の級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式

${\begin{aligned}\exp(iz)&=e^{iz}=\cos z+i\sin z,\\\exp(-iz)&=e^{-iz}=\cos z-i\sin z\end{aligned}}$

が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。即ち、

${\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}$

が成り立つ。」と記載がある以上、e ^iz 、e ^-iz の最小の正の周期が 2π であることを示せは、自ずとsin z 、cos z は周期 2π を持つ周期関数であることが証明されますが、これでは sin z 、cos z の周期性の証明にはならないのでしょうか。

e^iz のかわりに例えば

$f(x)={\begin{cases}4x,&0\leq x\leq 1/4\\-4x+2,&1/4\leq x\leq 1/2\\0,&1/2\leq x\leq 1\end{cases}}$

を周期 1 の（実）関数として拡張した関数 f を考えれば最小性の証明はできていないことがお分かり頂けると思います．--新規作成（会話） 2015年3月29日 (日) 05:16 (UTC)

「証明ができていない」というよりは，「ギャップがある」と言った方がよかったかもしれません．--新規作成（会話） 2015年3月29日 (日) 05:31 (UTC)

ある点で連続でない関数に関しては理解しました。連続な関数かつ、整関数である e ^iz 、sin z 、cos z の周期性となるといかがでしょうか。（なぜならば、e ^iz, cos z, sin z の級数による定義から、収束半径が ∞ の収束級数であり、整関数であることが明らかである。）--Morley41Wiki（会話） 2015年3月29日 (日) 06:00 (UTC)

もっと簡単に、f(x) = cos(x) + sin(2x) なんてしたら周期 2πだけど、f(x)-f(-x)の周期は π じゃないですか？ --Kik（会話） 2015年3月29日 (日) 09:48 (UTC)

sin z 、cos z の指数関数による定義が

${\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}$

であることと、e ^iz の最小の正の周期が 2π であることより、e ^2πi = 1 (= cos 2π + i sin 2π) であり、指数法則によって e ^{i ( z + 2π )} = e ^ize ^2πi = e ^iz = e ^iz (cos 2π + i sin 2π) であるから、周期 2π は明らかである。一応、トートロジーは回避したつもりです。これで、ギャップを解消できるでしょうか。--Morley41Wiki（会話） 2015年3月29日 (日) 10:12 (UTC)

確かに、本来は出典のように示すべきだろうとは思います。--Morley41Wiki（会話） 2015年3月29日 (日) 13:37 (UTC)

まずどこに問題があるのか理解するのが先です．記事編集時の要約欄ではかぎかっこ，上のコメントでは太字で強調しているのですが．私の例は連続関数ですよ．f(x)+f(−x) の周期が 1/2 というのも書いた方がよかったですか．視覚的にわかりやすいと思うのですが．Kik さんの例と合わせてよく考えてください．--新規作成（会話） 2015年3月29日 (日) 13:52 (UTC)

確かに、最小性は証明できていません。しかも、「新規作成」氏の示された例は、連続関数です。申し訳ありませんでした。最小性を証明するためには、今のところ cos π/2 = 0 を満たす実数 π が存在することをまず示してから、様々な整理をして π/2 の4倍が基本周期であることを示す必要がありそうです。--Morley41Wiki（会話） 2015年3月29日 (日) 15:26 (UTC)

これならどうでしょうか。

$\sin x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

と定義し

${\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=a_{n}$

とおけば

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1}).$

したがって

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\left\{{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)!}}-{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)!}}\right\}$

であるから

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)!}}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(4n+2)(4n+3)}}\right\}$

である。したがって、0 < x < 2 であれば

${\frac {x^{2}}{(4n+2)(4n+3)}}<{\frac {4}{2\cdot 3}}={\frac {2}{3}}<1$

であるから、0 < x < 2 で

$\sin x>0$

である。したがって、0 < x < 2 ならば

$(\cos x)'=-\sin x<0$

であり、微分が負であることから、区間 [0 , 2] において cos x は狭義単調減少である。さらに

$\cos x=1-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{4n+2}}{(4n+2)!}}\left\{1-{\frac {x^{2}}{(4n+3)(4n+4)}}\right\}$

であり、0 < x < 3 で

${\frac {x^{2}}{(4n+3)(4n+4)}}<{\frac {9}{3\cdot 4}}={\frac {3}{4}}<1$

であるから、上記式の級数の各項は 0 よりも大きくなる。そこで、第1項のみを考えれば

$\cos x<1-{\frac {x^{2}}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{12}}\right),(0<x<3)$

であるから、x = 2 とおけば

$\cos 2<1-{\frac {4}{2}}\left(1-{\frac {4}{12}}\right)=1-{\frac {4}{3}}<0$

である。さらに、定義より

$\cos 0=1>0$

であり、連続な関数であることから中間値の定理より

$\cos b=0$

となる 0 < b < 2 が存在する。区間 [0 , 2] において cos x は狭義単調減少であるため、この b は唯一つしか存在しない。 ここで

$2b:=\pi$

と定義する。したがって

$\cos {\frac {\pi }{2}}=0$

である。上記式とピタゴラスの基本三角関数公式より

$\left(\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{2}=1$

であり、0 < b = π/2 < 2 であるため、上記より

$\sin {\frac {\pi }{2}}>0$

であるから

$\sin {\frac {\pi }{2}}=1$

である。 三角関数の加法定理と上記より、任意の複素数 z に対して

$\cos \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin z,\sin \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos z$

であり、同じことをもう一度繰り返して

$\cos(z+\pi )=-\cos z,\sin(z+\pi )=-\sin z$

となる。したがって

$\cos(z+2\pi )=\cos z,\sin(z+2\pi )=\sin z$

である。ゆえに、2π が正弦と余弦の周期である。
ただし、π の定義が適当かどうかは含めていないので、これも証明しなければ完璧とはいえませんが。π の定義の妥当性の証明は他の方に譲ります。--Morley41Wiki（会話） 2015年3月30日 (月) 17:53 (UTC)

3行目の理由が間違い．--新規作成（会話） 2015年3月31日 (火) 01:19 (UTC)

そういう編集をされると，どこをどう変更したのか履歴を見ないと分かりませんし，編集前に付けたコメントが意味不明になるのでおやめください．Wikipedia:ノートページのガイドライン#自分のコメントなどを参照．

編集された部分について一応聞いておきますが

$(\sin x=)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1})$

となるのはどうしてですか？私はこの変形についてあなたがもともと書いてあった理由が間違いだと指摘したのですが，その後あなたがした編集は間違った理由を消しただけであってその式変形が正しいことの根拠が書かれていません．--新規作成（会話） 2015年3月31日 (火) 12:33 (UTC)

申し訳ありませんでした。以後は、変更部分の分かるように変更部分のみを記載します。
まず、極限値の定義より、数列の有限個の項を削除、追加したとき、これらは一方が収束すれば他方も収束し極限値も等しくなる。ここで、

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}=S,\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n+1}=T$

とおくと

$S_{N}\to S,T_{N}\to T.$

したがって

$S_{N}+T_{N}=S+T.$

ゆえに

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n+1}=S+T.$

さらに

$\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1})=S+T.$

ここで

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

が収束する時、その連続する有限個の項の和を項とする級数

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }a_{2n+1}$

は収束して、その和は上記の無限数列の和に等しいから

$(\sin x=)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1})$

となる。--Morley41Wiki（会話） 2015年3月31日 (火) 14:43 (UTC)

ここは数学について指導を受ける場所ではないですし、この節の内容はMorley41Wikiさんの会話ページなどに移動したほうがいいんじゃないですか？あと、もう少し証明の内容を自分で吟味して一週間ぐらいかけて、これは誰がどう見ても間違いないと自分で思えるようになってから人に聞いたほうがいいと思います。 --Kik（会話） 2015年3月31日 (火) 17:17 (UTC)

すいません。了解しました。私の会話ページに移動します。--Morley41Wiki（会話） 2015年3月31日 (火) 19:00 (UTC)

まず本題と関係ない部分についてのコメントからですが，投稿後の編集はなるべく避け，どうしても編集しなければならない事情がある場合は上に示したガイドラインにあるように編集箇所を明示したうえで署名も忘れないでください．分からないように編集するのは改竄です．

次に，自分が何を指摘されているのか，自分がしなければならないことは何か，きちんと把握してから文章を書き始めた方がよいと思います．そしてもちろん，書いた後投稿前に，自分の書いた文章をよく見直した方がいいです．私は上で

$(\sin x=)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1})$

となるどうしてですか，と聞いているのに，全く関係のないコメント（しかも何をしているのか私には分からない）を書いている．待つ意味もなさそうなので答えを書きますが

• $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ は収束する
• （一般に）級数 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ が収束すればその連続する有限個の項の和を項とする級数も収束し，和も等しい

という 2 つの事実が理由です．（もちろん今回のケースで「連続する有限個の項の和を項とする級数」に当たるものは

$\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1})$

です．）--新規作成（会話） 2015年4月1日 (水) 12:13 (UTC)

返答有難うございます。確かにその通りです。私が伝えなければならないことは、ダランベールの収束判定式などを用いることによって

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

は、すべての x に対して広義一様に絶対収束することが証明できて

級数 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

がすべての x に対して絶対収束しているために、その連続する有限個の項の和を項とする級数も収束し、和も等しいことが言えることより

$(\sin x=)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{2n}+a_{2n+1})$

となることでした。申し訳ありませんでした。--Morley41Wiki（会話） 2015年4月1日 (水) 13:01 (UTC)

ええとですね……．別にそこまで聞いてないのですが．会話能力の問題ではなく数学の方の問題だと思いますが．間違いがありますがめんどうなので指摘しません．--新規作成（会話） 2015年4月1日 (水) 13:38 (UTC)

確かに「すべての x に対して広義一様に絶対収束する」というのはおかしいですね。実関数なので、言っていることがおかしいですね。--Morley41Wiki（会話） 2015年4月1日 (水) 14:11 (UTC)

ところで、収束判定以前に

$\sin x:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

と定義したのだから

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

が任意の実数 x に対して、収束しない訳がないんですね。やっと気付きました。--Morley41Wiki（会話） 2015年4月1日 (水) 19:53 (UTC)

独自研究

一度、Wikipedia:独自研究は載せないをよくお読みください。ウィキペディアは、素人の個人研究発表の場でも数学を人から教わる場でもありません。--白駒（会話） 2017年3月11日 (土) 07:15 (UTC)

了解しました。ありがとうございます。--Morley41Wiki（会話） 2017年3月11日 (土) 10:55 (UTC)

円周率の無理性の証明に追加された「$\pi ^{\pi }$の超越性」の証明も間違っているように見えます。独自研究ならやめてください。--PuzzleBachelor（会話） 2017年6月1日 (木) 14:08 (UTC)