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五心の位置ベクトル[編集]

三角形五心 (重心、内心、傍心、外心、垂心) の位置ベクトル $P$ は、頂点の位置ベクトル $A,B,C$ を用いて、一般式

P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}}

で記述される。 $w_{A},w_{B},w_{C}$ は、次の表に整理される重みである。

	$w_{A}$	$w_{B}$	$w_{C}$	$w_{A}+w_{B}+w_{C}$
内心	$a$	$b$	$c$	$a+b+c$
外心	$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$	$b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})$	$c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$	$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$
垂心	$i_{B}\cdot i_{C}$	$i_{C}\cdot i_{A}$	$i_{A}\cdot i_{B}$	$i_{B}\cdot i_{C}+i_{C}\cdot i_{A}+i_{A}\cdot i_{B}$
重心	$1$	$1$	$1$	$3$
傍心	$-a$	$b$	$c$	$-a+b+c$
	$a$	$-b$	$c$	$a-b+c$
	$a$	$b$	$-c$	$a+b-c$