利用者:Tsukitakemochi/sandbox

動力学理論からのアプローチ

動力学理論では、ケルビン温度は、原子の1自由度あたりの運動エネルギーに関連づけられる。

エネルギー等配分の法則（equipartition theorem）によると、系の個々の自由度あたりの運動エネルギーは k_BT/2 となる。ここで、 T は絶対温度、 k_B はボルツマン定数である。3次元空間で、粒子の並進自由度は 3 なので、単原子気体粒子は、3k_BT/2 なるエネルギーを持つ。

例えば気体状態の酸素分子 (O₂) は、並進に加えて回転（2自由度）と振動（1自由度）を持つ。それぞれの1自由度あたりの運動エネルギーは、 k_BT/2 であるが、振動のモードは、常温を含む低い温度領域では量子力学的に凍結されるので、全体で 5k_BT/2 となる。また、高い温度領域では調和振動子と近似される振動のモードとなり、運動エネルギーおよびそれとほぼ等しいポテンシャルエネルギーが加わるので、全体で 7k_BT/2 となる。

固体の熱エネルギーは、デバイ温度より高い温度領域では原子1個あたり、 6k_BT/2 で近似される（デュロン＝プティの法則）が、これも、原子の 1 個が3自由度の調和振動子を構成するからである。

補助定理の証明

（解の存在） 二つの整数 m, n が互いに素ならば、ユークリッドの互除法により適当な整数 u, v が存在して、

mu + nv = 1

となるようにできる。このとき、

mu ≡ 1 (mod n),

nv ≡ 1 (mod m)

がなりたつので、

x = anv + bmu

とおくと、

x = a(1 − mu) + bmu = a + (b − a) mu ≡ a (mod m)

また、

x = anv + b(1 − nv) = b + (a − b) nv ≡ b (mod n)

x は与えられた連立合同式の解となる。

（解の一意性） y を任意の解とすると、x − y は

x − y ≡ 0 (mod m),

x − y ≡ 0 (mod n)

を満たす。よって、x − y は m と n との公倍数であるが、m と n とは互いに素なので、それらの最小公倍数 mn の倍数であり、

x − y ≡ 0 (mod mn)

すなわち、x と y とは法 mn に関して合同になる。 Q.E.D.

一般的な定理

各頂点の位置ベクトルを$r_{A},r_{B},r_{C}$、対辺の長さを $a,b,c$ とすると、外心 $U$ の位置ベクトル $r_{U}$ は次式で表される。

$r_{U}={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})r_{A}+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})r_{B}+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})r_{C}}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.$

この式の分母は、三角形の面積を $S$　とすると、$16S^{2}$に等しい。

性質

フェルマーの小定理は、乱数を発生する用途に使われることがある。しかし、このような場合、あらゆる（p と互いに素な）a について、

$b=a^{n}{\pmod {p}}$

が、$n=1..p-1$ に沿って

$1\leq b<p$

の全要素を順繰りに巡ることを保証しているわけではない点には注意すべきである。実際、次の各表では、$n=p-1$ である右端の列が全てゼロになることは確かだが、それ以外にもゼロは出現している。

$p=3$ の場合：

		$n$
		$1$	$2$
$a$	$1$	$1$	$1$
	$2$	$2$	$1$

$p=5$ の場合：

		$n$
		$1$	$2$	$3$	$4$
$a$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
	$2$	$2$	$4$	$3$	$1$
	$3$	$3$	$4$	$2$	$1$
	$4$	$4$	$1$	$4$	$1$

$p=7$ の場合：

		$n$
		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$a$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
	$2$	$2$	$4$	$1$	$2$	$4$	$1$
	$3$	$3$	$2$	$6$	$4$	$5$	$1$
	$4$	$4$	$2$	$1$	$4$	$2$	$1$
	$5$	$5$	$4$	$6$	$2$	$3$	$1$
	$6$	$6$	$1$	$6$	$1$	$6$	$1$

三角形外心位置ベクトルの証明

「ページ」に置かれている式

$U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.$

は、次のように証明できる。

ステップ１

図 1

ΔABC の外心を U とし、これと、各頂点とを線で結ぶと、小三角形が３つ現れる。 ここに結んだ各線分の長さは U の性質上等しいはずであり、これを r とする。個々の小三角形は、二等辺三角形だが、これは二等角三角形でもあることを意味する。ΔUBC、ΔUCAのそれぞれにつき、内角の和は180°だから、

∠CUB=180°- (∠UBC + ∠BCU) = 180°- 2∠BCU

∠AUC = 180°- (∠UCA + ∠CAU) = 180°- 2∠UCA

一方、U の全周を分担する角に目をつけると、

∠BUA = 360°- (∠AUC + ∠CUB)

= 2 (∠BCU +∠UCA)

= 2 ∠BCA

ステップ２

図 2

r および a, b, c (頂点 A,B,C の各対辺) を用いると、各二等辺三角形の高さ（元の三角形の辺とUとの距離）はそれぞれ r cos∠CAB、 r cos∠ABC、 r cos∠BCA。面積 S_A, S_B, S_C は, それぞれ (a r cos∠CAB)/2、 (b r cos∠ABC)/2、 (c r cos∠BCA)/2。 これらから、もともとの三角形の面積Sは、

S = r(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA)/2.

ステップ３

図 3

ΔABCと、ΔABUを、共通辺cを底辺と見て比較すると、三角形の面積の性質上、それはお互いの高さに比例するはずである。 Uを通り、辺ABに並行な線を引くと、これによってΔABCの斜辺 CA （長さは b） は両三角形の高さに比例する割合で分割され、図３に従えば、

m/b = S_C/S = c cos∠BCA/(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA). 　

次に、Uを通り、辺CAに平行な線を引き、ΔABCと、ΔABUを、共通辺 b を底辺と見て比較、ΔABCの斜辺 AB （長さは c） の分割を見ると、図に従えば、

n/c = S_B/S = b cos∠ABC/(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA).

左下に現れた 平行四辺形 を使うと、 U の位置ベクトルは、

U = A + (C-A)m/b + (B-A)n/c

= A + ((C-A)c cos∠BCA + (B-A)b cos∠ABC) /(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA)

= (A a cos∠CAB + B b cos∠ABC + C c cos∠BCA)/(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA).

ここで、

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

等の余弦定理をあてはめると、

$U={\frac {a(b^{2}+c^{2}-a^{2})A/2bc+b(c^{2}+a^{2}-b^{2})B/2ca+c(a^{2}+b^{2}-c^{2})C/2ab}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})/2bc+b(c^{2}+a^{2}-b^{2})/2ca+c(a^{2}+b^{2}-c^{2})/2ab)}}$

$={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}}$