利用者:Tsukitakemochi/sandbox

動力学理論からのアプローチ

動力学理論では、ケルビン温度は、原子の1自由度あたりの運動エネルギーに関連づけられる。

エネルギー等配分の法則（equipartition theorem）によると、系の個々の自由度あたりの運動エネルギーは k_BT/2 となる。ここで、 T は絶対温度、 k_B はボルツマン定数である。3次元空間で、粒子の並進自由度は 3 なので、単原子気体粒子は、3k_BT/2 なるエネルギーを持つ。

例えば気体状態の酸素分子 (O₂) は、並進に加えて回転（2自由度）と振動（1自由度）を持つ。それぞれの1自由度あたりの運動エネルギーは、 k_BT/2 であるが、振動のモードは、常温を含む低い温度領域では量子力学的に凍結されるので、全体で 5k_BT/2 となる。また、高い温度領域では調和振動子と近似される振動のモードとなり、運動エネルギーおよびそれとほぼ等しいポテンシャルエネルギーが加わるので、全体で 7k_BT/2 となる。

固体の熱エネルギーは、デバイ温度より高い温度領域では原子1個あたり、 6k_BT/2 で近似される（デュロン＝プティの法則）が、これも、原子の 1 個が3自由度の調和振動子を構成するからである。

補助定理の証明

（解の存在） 二つの整数 m, n が互いに素ならば、ユークリッドの互除法により適当な整数 u, v が存在して、

mu + nv = 1

となるようにできる。このとき、

mu ≡ 1 (mod n),

nv ≡ 1 (mod m)

がなりたつので、

x = anv + bmu

とおくと、

x = a(1 − mu) + bmu = a + (b − a) mu ≡ a (mod m)

また、

x = anv + b(1 − nv) = b + (a − b) nv ≡ b (mod n)

x は与えられた連立合同式の解となる。

（解の一意性） y を任意の解とすると、x − y は

x − y ≡ 0 (mod m),

x − y ≡ 0 (mod n)

を満たす。よって、x − y は m と n との公倍数であるが、m と n とは互いに素なので、それらの最小公倍数 mn の倍数であり、

x − y ≡ 0 (mod mn)

すなわち、x と y とは法 mn に関して合同になる。 Q.E.D.

一般的な定理

各頂点の位置ベクトルを$r_{A},r_{B},r_{C}$、対辺の長さを $a,b,c$ とすると、外心 $U$ の位置ベクトル $r_{U}$ は次式で表される。

$r_{U}={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})r_{A}+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})r_{B}+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})r_{C}}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.$

この式の分母は、三角形の面積を $S$　とすると、$16S^{2}$に等しい。

Xカスチリアノの第2定理

変位と外力とが線形関係にあることが保証される系では、ひずみエネルギー $U$ を、外力 $P_{1},P_{2},\cdots$ の関数として表すとき、 $i$ 点での変位 $\delta _{i}$ は、

$\delta _{i}={\frac {\partial U}{\partial P_{i}}}$

で表される。これをカスチリアノの第2定理と言われる。

これはマクスウェル・ベティの相反作用の定理（こちらは、弾性体であれば線形性に依らず成り立つ）を積分したものとも言える。

三角形外心位置ベクトルの証明

「ページ」に置かれている式

$U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.$

は、次のように証明できる。

ステップ１

図 1

ΔABC の外心を U とし、これと、各頂点とを線で結ぶと、小三角形が３つ現れる。 ここに結んだ各線分の長さは U の性質上等しいはずであり、これを r とする。個々の小三角形は、二等辺三角形だが、これは二等角三角形でもあることを意味する。ΔUBC、ΔUCAのそれぞれにつき、内角の和は180°だから、

∠CUB=180°- (∠UBC + ∠BCU) = 180°- 2∠BCU

∠AUC = 180°- (∠UCA + ∠CAU) = 180°- 2∠UCA

一方、U の全周を分担する角に目をつけると、

∠BUA = 360°- (∠AUC + ∠CUB)

= 2 (∠BCU +∠UCA)

= 2 ∠BCA

ステップ２

図 2

r および a, b, c (頂点 A,B,C の各対辺) を用いると、各二等辺三角形の高さ（元の三角形の辺とUとの距離）はそれぞれ r cos∠CAB、 r cos∠ABC、 r cos∠BCA。面積 S_A, S_B, S_C は, それぞれ (a r cos∠CAB)/2、 (b r cos∠ABC)/2、 (c r cos∠BCA)/2。 これらから、もともとの三角形の面積Sは、

S = r(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA)/2.

ステップ３

図 3

ΔABCと、ΔABUを、共通辺cを底辺と見て比較すると、三角形の面積の性質上、それはお互いの高さに比例するはずである。 Uを通り、辺ABに並行な線を引くと、これによってΔABCの斜辺 CA （長さは b） は両三角形の高さに比例する割合で分割され、図３に従えば、

m/b = S_C/S = c cos∠BCA/(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA). 　

次に、Uを通り、辺CAに平行な線を引き、ΔABCと、ΔABUを、共通辺 b を底辺と見て比較、ΔABCの斜辺 AB （長さは c） の分割を見ると、図に従えば、

n/c = S_B/S = b cos∠ABC/(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA).

左下に現れた 平行四辺形 を使うと、 U の位置ベクトルは、

U = A + (C-A)m/b + (B-A)n/c

= A + ((C-A)c cos∠BCA + (B-A)b cos∠ABC) /(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA)

= (A a cos∠CAB + B b cos∠ABC + C c cos∠BCA)/(a cos∠CAB + b cos∠ABC + c cos∠BCA).

ここで、

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

等の余弦定理をあてはめると、

$U={\frac {a(b^{2}+c^{2}-a^{2})A/2bc+b(c^{2}+a^{2}-b^{2})B/2ca+c(a^{2}+b^{2}-c^{2})C/2ab}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})/2bc+b(c^{2}+a^{2}-b^{2})/2ca+c(a^{2}+b^{2}-c^{2})/2ab)}}$

$={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}}$

平行六面体（へいこうろくめんたい、parallelepiped）とは、6面の平行四辺形で構成されている立体であり、ゾーン多面体、平行多面体の一種である。6面がすべて合同の正方形でない菱形であるような平行六面体は特に菱面体と呼ばれ、2つの頂点に3つの菱形の鋭角が集まるもの(acute)と、鈍角が集まるもの(obtuse)の2種類がある。後者は鈍角の角度が120度以下でなければならない。

また、acute と obtuse を各2個ずつ集めると菱形十二面体第2種、各5個ずつ集めると菱形二十面体、各10個ずつ集めると菱形三十面体面積になる。

体積

カスチリアノの第2定理（線形性のもとにのみ成り立つ）は、これを積分したものと言える。

平行六面体の中心を座標原点に置き、８個の頂点の座標を ui で表すなら、体積は次式で与えられる。

${\textstyle V=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {u_{i}} \otimes \mathbf {u_{i}} \end{vmatrix}}}=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\top }\end{vmatrix}}}=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}{\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}}=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{8}{\begin{pmatrix}u_{x}u_{x}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\u_{y}u_{x}&u_{y}u_{y}&u_{y}u_{z}\\u_{z}u_{x}&u_{z}u_{y}&u_{z}u_{z}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}}}$

ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。合である。

らの意味で使われているか注意が必要である。

$V=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}u_{x}u_{x}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\u_{y}u_{x}&u_{y}u_{y}&u_{y}u_{z}\\u_{z}u_{x}&u_{z}u_{y}&u_{z}u_{z}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}}$

ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合で

です。

Description

3D Restoration

Haikouichthys is about 2.5 cm (1 inch) long and is narrower than Myllokunmingia, another putative chordate that comes from the same beds. The holotype of Haikouichthys ercaicunensis was found in the Yuansshan member of the Qiongzhusi Formation in the 'Eoredlichia' Zone near Haikou at Ercaicun, Kunming City, Yunnan, China, hence its name "Haikou fish from Ercaicun". The fossil was recovered among the Chengjiang fauna, in one of a series of Lagerstätten sites where thousands of exquisitely preserved soft-bodied fossils have already been found. Following the discovery of the holotype, additional Lower Cambrian fossils of Haikouichthys ercaicunensis have been discovered.

Haikouichthys Reconstruction

The animal has a distinct head and tail. The head has at least six and perhaps nine probable gills. There are a number of segments (myomeres) with rear directed chevrons in the tail. There is probably a notochord, although only a short segment is preserved in the single known specimen. There is a prominent dorsal fin with fin radials similar, but not comparable, to those of hagfish and lampreys. The fin radials seem to angle "forward" toward the end thought on the basis of internal structures to be the head. This happens with a few modern fish but is an uncommon arrangement. There are 13 circular structures along the bottom that may be gonads, slime organs, or something else entirely.

See also

• Ostracoderm
• Arandaspis
• Pikaia – Cambrian chordate
• Myllokunmingia – close relative
• Zhongjianichthys – eel-like close relative
• Lancelet - living animal with similar morphology

External links

• Oldest fish fossil caught

体積

平行六面体の体積は、「底面積×高さ」 で求めることができる。

また、その8個の頂点の位置ベクトルを $\mathbf {A_{n}}$ （n=1 .. 8） 、重心を$\mathbf {C}$ とするなら、頂点毎のベクトルの自己直積 $(\mathbf {A_{n}} -\mathbf {C} )\otimes (\mathbf {A_{n}} -\mathbf {C} )$ の総和として得られるマトリクスの行列式 $d$

$d={\begin{vmatrix}\sum _{n=1}^{8}(\mathbf {A_{n}} -\mathbf {C} )\circ (\mathbf {A_{n}} -\mathbf {C} )\end{vmatrix}}$

を用いると、体積 $V$ は、

$V={\sqrt {\frac {d}{8}}}$

となる。上の $d$ については、マトリクスの要素毎に総和を記述すれば、次のようにも書ける。

$d={\begin{vmatrix}\sum _{n=1}^{8}A_{xn}A_{xn}-8{C_{x}}^{2}&\sum _{n=1}^{8}A_{xn}A_{yn}-8C_{x}C_{y}&\sum _{n=1}^{8}A_{xn}A_{zn}-8C_{x}C_{z})\\\sum _{n=1}^{8}A_{yn}A_{xn}&\sum _{n=1}^{8}A_{yn}A_{yn}&\sum _{n=1}^{8}A_{yn}A_{zn}\\\sum _{n=1}^{8}A_{zn}A_{xn}&\sum _{n=1}^{8}A_{zn}A_{yn}&\sum _{n=1}^{8}A_{zn}A_{zn}\end{vmatrix}}$

線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトルの外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。

$S=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {u_{i}} \otimes \mathbf {u_{i}} \end{vmatrix}}}=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\top }\end{vmatrix}}}=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}}=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}u_{x}u_{x}&u_{x}u_{y}\\u_{y}u_{x}&u_{y}u_{y}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}}$

ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。

らの意味で使われているか注意が必要である。

$V=k{\sqrt {\begin{vmatrix}\sum _{i=1}^{n}{\begin{pmatrix}u_{x}u_{x}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\u_{y}u_{x}&u_{y}u_{y}&u_{y}u_{z}\\u_{z}u_{x}&u_{z}u_{y}&u_{z}u_{z}\end{pmatrix}}\end{vmatrix}}}$

ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合で

「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函場合である。

「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。

五心の位置ベクトル

三角形五心 (重心、内心、傍心、外心、垂心) の位置ベクトル $P$ は、頂点の位置ベクトル $A,B,C$ を用いて、一般式

$P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}}$

で記述される。$w_{A},w_{B},w_{C}$ は、次の表に整理される重みである。

	$w_{A}$	$w_{B}$	$w_{C}$	$w_{A}+w_{B}+w_{C}$
重心	$1$	$1$	$1$	$3$
内心	$a$	$b$	$c$	$a+b+c$
傍心	$-a$	$b$	$c$	$-a+b+c$
	$a$	$-b$	$c$	$a-b+c$
	$a$	$b$	$-c$	$a+b-c$
外心	$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$	$b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})$	$c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$	$16S^{2}$
垂心	$a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}$	$b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}$	$c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}$	$16S^{2}$

$a\equiv {\overline {BC}}={\sqrt {({\vec {BC}},{\vec {BC}})}},$

$b\equiv {\overline {CA}}={\sqrt {({\vec {CA}},{\vec {CA}})}},$

$c\equiv {\overline {AB}}={\sqrt {({\vec {AB}},{\vec {AB}})}},$

$16S^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}),$

五心

三角形五心 (重心、内心、傍心、外心、垂心) の位置ベクトル $P$ は、頂点の位置ベクトル $A,B,C$ を用いて、一般式

$P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}}$

で記述できる。$w_{A},w_{B},w_{C}$ は、次の表に整理される重みである。

	$w_{A}$	$w_{B}$	$w_{C}$	$w_{A}+w_{B}+w_{C}$
内心	$a$	$b$	$c$	$a+b+c$
外心	$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$	$b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})$	$c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$	$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})$
垂心	$i_{B}\cdot i_{C}$	$i_{C}\cdot i_{A}$	$i_{A}\cdot i_{B}$	$i_{B}\cdot i_{C}+i_{C}\cdot i_{A}+i_{A}\cdot i_{B}$
重心	$1$	$1$	$1$	$3$
傍心	$-a$	$b$	$c$	$-a+b+c$
	$a$	$-b$	$c$	$a-b+c$
	$a$	$b$	$-c$	$a+b-c$

$a\equiv {\overline {BC}}={\sqrt {({\vec {BC}},{\vec {BC}})}},$

$b\equiv {\overline {CA}}={\sqrt {({\vec {CA}},{\vec {CA}})}},$

$c\equiv {\overline {AB}}={\sqrt {({\vec {AB}},{\vec {AB}})}},$

$i_{A}\equiv ({\vec {AB}},{\vec {AC}}),$

$i_{B}\equiv ({\vec {BC}},{\vec {BA}}),$

$i_{C}\equiv ({\vec {CA}},{\vec {CB}}).$

変数 $a,b,c,i_{A},i_{B},i_{C}$ は何れもスカラーであることに注意されたし。

「整係数多項式は整係数多項式因子に分解されなければならない (”クロネッカーの方法”より) 」？

クイズ：　大抵の場合、次の多項式

$x^{2}+bx-c$

は次のようcの形の因数分解が不可のこともあると言います。どんな場合でしょう？

答え：　次の場合

$b=3,c=1.$

なぜなら、”クロネッカーの方法” の記事によると「整係数多項式は整係数多項式因子に分解されなければならない」、ということは、非整係数多項式因子への次の分解

$(x+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}})(x+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}).$

は禁止されるから。

でも、この考え方は正しいのでしょうか？　ご意見、期待します。

一変数多項式の場合

一変数多項式の場合、代数学の基本定理からすれば次のように因数分解できることは明らかである。

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{n}).$

ここで、$x_{n}$ は 式の値 $=0$ を満たす $x$ の解から成る定数であるが、それらは一般には複素数である。

目標とすべき因数の項を実数体 $\mathbb {R}$ 上の多項式（「K 上の多項式」｟Kは集合｠という言葉の定義は多項式に）に限定する場合（元になる展開式も実数体 $\mathbb {R}$ 上の多項式である）には、既約因子の次数は高々 2 となる。また、目標を有理数体 $\mathbb {Q}$ 上または、整数体 $\mathbb {Z}$ 上のものに限定する場合（元になる展開式も有理数体 $\mathbb {Q}$ または整数体 $\mathbb {Z}$ 上の多項式である）には、既約因子の次数に保証はない（分解できないかも知れない）。これは、展開式が、整数体 $\mathbb {Z}$ 上、有理数体 $\mathbb {Q}$ 、実数体 $\mathbb {R}$ 上であっても、因数種別の限定を解けば、より少ない次数の既約因子に分解できるということでもある。

「体上の多項式」（定義は多項式に述べられている）の成す演算は一般には体ではない（逆元を持つという要件を必ずしも満たさない）。過去にはこの点が勘違いされ、多項式の演算を体と誤認して解を求める方法が考えられていた。

例えば、

$x^{2}+3x+1=(x+{\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}})(x+{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}).$

また、

$x^{4}+1=(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1).$

といった因数分解で、展開式の係数は有理数であるのに、各因数を構成する各項の係数はそうでない。

こういった場合を除外すれば利用できるのが、有限の候補の中から解を探す、以下の方法である。

”有理数体 ℚ 上では任意の次数の既約多項式が存在する”（「問題の定式化について」）

展開式が有理数体上であると共に、因数分解を有理数体上の多項式のみによると限定する課題というのがそもそも一般的なのでしょうか？　この部分（文の後半）を削除しても良いでしょうか？　

この因数分解は目標とすべき因数として、どの範囲の係数体を認めるかに依る。一変数多項式であれば、代数学の基本定理（複素係数の任意の多項式が複素根を持つこと）から、複素数体 ℂ 上の既約因子の積に完全に分解することができるが、分解すべき因数を実数体 ℝ 上の一次　素　因子の積に限定する場合には既約因子の次数は高々 2 　最大２となり、有理数体 ℚ 上の一次　素　因子に限定する場合には任意の既約多項式の次数に保証はない（分解できないかも知れない）。

記事の本文にも述べられているように、実係数多項式は、実係数多項式の積としては「高だか２次まで」の項に分解できる。それならば、例えば４次の多項式なら、２次×２次　の項に少なくとも分解できなければならず、ことによると　２次×１次×１次、または、１次×１次×１次×１次　にまで分解可能かも知れないという推定が成り立つ。実際に、次のような例では１次の各項にまで分解可能と考える。

$x^{4}-4x^{2}+2=(x^{2}-(2+{\sqrt {2}}))(x^{2}-(2-{\sqrt {2}}))=(x+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}})(x+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}})(x-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}})(x-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}).$

さて、この最左辺は整係数多項式であり、実係数多項式でもある。「整係数多項式であるから実係数多項式でない」などと言い出す輩は、集合をわかっていないから、数学の園から退場して頂きたい。それで、「整係数多項式は整係数多項式の積に分解されなければならない」って？　嘘をつけ！　誰がそんなことを決めた？　では、上の例の因数分解は全く許されないのか？　それなら「高だか２次まで」を撤回して頂きたい。逆にこの因数分解が（途中まででも）許されるなら、「整係数多項式は整係数多項式の積に分解されなければならない」の方が否定されるはずだ。

積や平方は、物理など応用分野でも普通に使われ、そこでは有理数か否かは問題にならないことから、実数は最も重視すべきである。有理数ということにこだわった「ファン・デル・ヴェルデン」は、数学の公理主義を体現する初等テキストを目指したと考えられるが、ここから学ぶべきは方法論であり、知識の限定ではない。

実係数多項式は、実係数多項式の積としては「高だか２次まで」の項に分解できることの証明

次の多項式

$x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x^{2}+1)(x^{2}-0.76536686x+1)(x^{2}+1.41421356x+1)(x^{2}-1.41421356x+1)(x^{2}+0.76536686x+1)(x^{2}+1.84775907x+1)(x^{2}-1.84775907x+1)$

が奇数次の場合、$x=\pm \infty$　に対応する式の値は、$\pm \infty$　となるため、連続した関数であることを考慮すると、式の値がゼロになる　$x$　の解は必ず存在する。これを定数　$x_{c}$　とし、　$(x-x_{c})$　で割り算すると、多項式の因子たる偶数次の式が得られる。従って、偶数次の多項式について、「高だか２次まで」の項までに分解できることを証明すれば十分である。ここからは　$m$　を偶数として、

$x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}=(x^{2}+bx+c)(x^{m-2}+p_{m-3}x^{m-3}+...+p_{1}x+p_{0})+(Bx+C),$

の左辺の多項式を右辺に書き換えることを試みる。左辺を右辺の第１括弧で割り算した商が第２括弧、その余りが第３括弧である。第２括弧中に係数を構成する　$p_{m-3},...,p_{0}$　は、余りが　$x^{2}$　以上の項を持たないように決めるが、特に、$b$　および　$c$　が正負の無限大である場合の　$B$　および　$C$　の挙動は、次表のようになる（自然数で、百数十といった数で割る10進法の筆算と似た感じになる）。

$(b,c)$		$(\infty ,\infty )$	$(\infty ,-\infty )$	$(-\infty ,\infty )$	$(-\infty ,-\infty )$
$(B,C)$	$m=2n$	$(-\infty ,-\infty )$	$(-\infty ,\infty )$	$(\infty ,-\infty )$	$(\infty ,\infty )$
	$m=2n+1$	$(\infty ,\infty )$	$(\infty ,-\infty )$	$(\infty ,-\infty )$	$(\infty ,\infty )$

このように、次数　$m$　が偶数の場合と奇数の場合とでは結果が変わるが、先に述べたように、偶数の場合のみを問題にすれば良く、$(b,c)$　の対が、４象限それぞれの極限値を取るとき、$(B,C)$　の対はまた、４象限の４つの極限値を取っており、$(b,c)$　から　$(B,C)$　への写像は連続関数であるから、　$(B,C)=(0,0)$　を実現する４つの極限値の内分点　$(b,c)$　が存在するはずである。このとき、先の式の第３括弧はゼロになるので、多項式は高々２次の式　$(x^{2}+bx+c)$　で割り切れることになり、得られた商はまた偶数次の式だから、同様の操作を繰り返せば、高々２次の式のみの積として分解される。