利用者:ARAKI Satoru/底 (加群)

数学において、加群の台（だい、英: socle）とは云々。

定義

R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。 単純加群からなるクラスを ℘ とおく。 加群 M について次の3つの部分加群は等しい。

• Tr_M(℘) := ∑{ im(ƒ) | ∃S ∈ ℘. ƒ : S → M }
• ∑{ K ≤ M | K は極小加群 }
• ∩{ L ≤ M | L は本質的加群 }

この加群を M の台といい、Soc(M)と表す。

性質

M を加群とする。

• 加群 N への射 ƒ : M → N に対して Soc(ƒ(M)) ≤ Soc(N)
• M の部分加群 N に対して Soc(N) = N ∩ Soc(M)
• Soc(Soc(M)) = Soc(M)

参考文献

• Frank W. Anderson; Kent R. Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Graduate texts in mathematics, 13 (Second ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97845-3