利用者:HOTUMA/三角関数の無限乗積展開

恒等式

${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}\sin {n\theta }&=\cot {\frac {\theta }{2}}\sum _{k=1}^{n}{\big (}\sin {k\theta }-\sin {(k-1)\theta }{\big )}\\&=\cot {\frac {\theta }{2}}\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\&=\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {(2k-1)\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\big (}\cos {k\theta }+\cos {(k-1)\theta }{\big )}\\\end{aligned}}$

連分数による証明

連分数を介して級数展開を乗積展開に変形することが可能である。以下において連分数を

$a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+}}{\frac {b_{2}}{a_{2}+}}{\frac {b_{3}}{a_{3}+}}\dots =a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\dots }}}}}}$

と略記する。

${\begin{aligned}\sin({\pi }x)&={\pi }x-{\frac {({\pi }x)^{3}}{3!}}+{\frac {({\pi }x)^{5}}{5!}}-{\frac {({\pi }x)^{7}}{7!}}+\dots \\&={\pi }x\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{2\cdot 3}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{4\cdot 5}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{6\cdot 7}}\dots \right)\right)\right)\\&={\cfrac {{\pi }x}{0+{\cfrac {1}{1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{2\cdot 3}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{4\cdot 5}}\left(1+{\frac {-({\pi }x)^{2}}{6\cdot 7}}\dots \right)\right)}}}}\\&={\frac {{\pi }x}{0+}}{\frac {1}{1+}}{\frac {\frac {-({\pi }x)^{2}}{2\cdot 3}}{0+}}{\frac {1}{1+}}{\frac {\frac {-({\pi }x)^{2}}{4\cdot 5}}{0+}}{\frac {1}{1+}}{\frac {\frac {-({\pi }x)^{2}}{6\cdot 7}}{0+}}...\\\end{aligned}}$

手詰まり。

加法定理による証明

加法定理より

$\cot {{\pi }z}={\frac {\cos ^{2}{\frac {{\pi }z}{2}}-\sin ^{2}{\frac {{\pi }z}{2}}}{2\sin {\frac {{\pi }z}{2}}\cos {\frac {{\pi }z}{2}}}}={\frac {\cot {\frac {{\pi }z}{2}}-\tan {\frac {{\pi }z}{2}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(\cot {\frac {{\pi }z}{2}}+\cot {\frac {{\pi }(z+1)}{2}}\right)$

繰り返して

$\cot {{\pi }z}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\cot {\frac {{\pi }(z+k)}{2^{n}}}}$

手詰まり。