利用者:Nubewo

プロフィール[編集]

1980年代前半生まれ、大学院生、関西在住。

専攻は化学工学で、計算機によるシミュレーションを用いた研究をしています。

2008年3月にアカウントを取得し活動を始めました。

表面物理学との立ち位置の調整

微分公式 $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$ を利用する。

$({\frac {e^{x}}{x}})'=e^{x}({\frac {1}{x}})'+{\frac {1}{x}}(e^{x})'$

と表せる。

$({\frac {e^{x}}{x}})'=e^{x}(-{\frac {1}{x^{2}}})+{\frac {1}{x}}(e^{x})={\frac {e^{x}}{x}}(1-{\frac {1}{x}})$

この式を用いて、

$({\frac {e^{x}}{x}})''=(({\frac {e^{x}}{x}})')'=[{\frac {e^{x}}{x}}(1-{\frac {1}{x}})]'$

が得られる。これも上記の微分公式を利用して、

$({\frac {e^{x}}{x}})''=({\frac {e^{x}}{x}})'(1-{\frac {1}{x}})+({\frac {e^{x}}{x}})(1-{\frac {1}{x}})'$

$({\frac {e^{x}}{x}})''=({\frac {e^{x}}{x}})(1-{\frac {1}{x}})^{2}+({\frac {e^{x}}{x}}){\frac {1}{x^{2}}}$

$({\frac {e^{x}}{x}})''={\frac {e^{x}}{x}}(1-{\frac {2}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}})$

となる。

二問目：変数分離？の公式（名前とか忘れた）により $(e^{-x^{2}})'={\frac {d(e^{-x^{2}})}{dx}}$ は、

$(e^{-x^{2}})'={\frac {d(-x^{2})}{dx}}{\frac {d(e^{-x^{2}})}{d(-x^{2})}}$

と書ける。分かりやすくするため $-x^{2}=X$ と書き換えて、

$(e^{-x^{2}})'=-2x{\frac {d(e^{X})}{d(X)}}$

$(e^{-x^{2}})'=-2xe^{X}=-2xe^{-x^{2}}$

となる。二階微分は、冒頭の微分公式を用いて、

$(e^{-x^{2}})''=(-2xe^{-x^{2}})'=(-2x)'e^{-x^{2}}-2x(e^{-x^{2}})'$

となり、

$(e^{-x^{2}})''=-2xe^{-x^{2}}+4x^{2}e^{-x^{2}}=2(2x^{2}-1)e^{-x^{2}}$