利用者:Usagioq/sandbox

レーナ・ドーブラ （Lena Dobler）
Lena Dobler
基本情報
出生名	Lena Dobler
生誕	ドイツ連邦共和国・ドルトムント (1990-01-05) 1990年1月5日（34歳）
出身地	ドイツ
ジャンル	ポップ
職業	歌手、学生
活動期間	2008年 -
公式サイト	www.lena-dobler.de

レーナ・ドーブラ（ドイツ語:Lena Dobler、1990年1月5日 - ）はフュルトで活動しているシンガーソングライターである。

ディスコグラフィー

年	楽曲
2014	Setagaya
2016	Fuji Disco

Hanna Marie Klek
2011年当時の写真
フルネーム	Hanna Marie Klek
生誕	1995年1月（29歳） ドイツ
タイトル	ウーマングランドマスター(2017)

ハンナ·マリエ·クレック（ドイツ語: Hanna Marie Klek、1995年1月11日 - ）は、ドイツのチェスプレーヤーでウーマングランドマスター(WGM)。

パク・チニ
別名義	박진희, 朴真熙, Park Jin Hee
生年月日	(1978-01-08) 1978年1月8日（46歳）
出生地	韓国ソウル特別市龍山区
身長	167 cm
血液型	B型
職業	女優
ジャンル	テレビドラマ・映画
活動期間	1996年-
配偶者	一般男性 (2014-)
事務所	코스타엔터테인먼트
主な作品
発酵家族 ジャイアント まだ結婚したい女

パク・チニは大韓民国の女優である。

力学系の教科書

連分数

写像 $T:[0,1]\setminus \mathbb {Q} \rightarrow [0,1]\setminus \mathbb {Q}$ を $x$ を $1/x$ の小数部分に写す写像とする。 つまり

$T(x)={\frac {1}{x}}-\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor$

と定義する。この写像は Gauss map と呼ばれることがある。

このとき $a_{n}(x),n=1,2,\ldots$ を $a_{n}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{T^{n-1}x}}\right\rfloor$ と定めると、これは $x=[0;a_{1}(x),a_{2}(x),\ldots ]$ の連分数表現となっている。

つまり任意の $x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q}$ は

${\begin{aligned}x&=a_{1}(x)+{\cfrac {1}{a_{2}(x)+{\cfrac {1}{a_{3}(x)+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}\end{aligned}}$

と表される。 さらに、 $[0,1]$ 上のボレル確率測度 $\mu$ を

$\mu (A)={\frac {1}{\log 2}}\int _{A}{\frac {1}{1+x}}dx$

と定義されるである。これはガウス測度と呼ばれることがある。

この $\mu$ は $T$-不変であるので $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\mu ,T)$ は可測力学系となっている。 この力学系はエルゴード的であることも知られている。

圧力関数

$(\Omega ,T)$ を位相力学系とする。

$P(\phi )=\sup \left\{h_{\nu }(T)+\int \phi \,d\nu \right\}$

ペロンフロベニウス作用素

ヘルダー連続関数 $g$ に関して ${\mathcal {L}}_{g}:F_{\theta }\rightarrow \mathbb {R}$ を

${\mathcal {L}}_{g}f(x):=\sum _{Ty=x}e^{g(y)}f(y)$

と定義する。ことのとき

${\mathcal {L}}_{g}^{n}f(x)=\sum _{T^{n}y=x}e^{g_{n}(y)}f(y)$

であることに注意する。ここで $g_{n}(x):=\sum _{i=0}^{n-1}g(T^{i}x)$ とする。

過去の記事

測度論による定義

数学においての確率論は測度論を使って議論される。 標本空間Ωを任意の集合、事象空間ΣをΩ上の完全加法族、PをΣ上の確率測度とする。 即ち、$2^{\Omega }$ をΩの部分集合全体からなる族とすると、Σは $\Sigma \subseteq 2^{\Omega }$ かつ以下の性質を持つ:

1. $\Omega \in \Sigma$ 。
2. 任意の $A\in \Sigma$ に対して $\Omega \setminus A\in \Omega$ 。
3. 任意の $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma$ に対して $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \Sigma$ 。

さらに写像 $P:\Sigma \rightarrow [0,1]$ は以下の性質を持つ:

1. $P(\Omega )=1$ 。
2. 加算加法性: 任意の $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma$ が $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \,(\forall i\neq j)$ を満たすとき

$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$

が成り立つ。

このとき、 $(\Omega ,\Sigma ,P)$ を確率空間という。

数学におけるエルゴード理論

エルゴード理論は確率論にもとづいた力学系の一つの分野である。 物理へのみならず数論など数学の他分野への応用も多い。 上記のエルゴード仮説との直接の関係は薄い。

定義

エルゴード理論での基本的な事柄を定義する。

可測力学系

確率空間 $(X,{\mathcal {B}},\mu )$ を考える。即ち、X をある集合、${\mathcal {B}}$ を X 上の完全加法族、そしてμを確率測度とする。 さらに $T:X\rightarrow X$ を ${\mathcal {B}}$-可測な写像とする。 全ての $A\in {\mathcal {B}}$ に対して $\mu (T^{-1}A)=\mu (A)$ を満たすとき、μは(T-)不変測度であるという。 このとき、 $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ を可測力学系と呼ぶ。 ここでの興味の対象は、任意の始点 $x\in X$ からの軌道 $\{T^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ の振舞いである。

エルゴード性

T-不変な ${\mathcal {B}}$ の集合を ${\mathcal {I}}=\{A\in {\mathcal {B}}:T^{-1}A=A\}$ と書く。 ある可測力学系 $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ が(もしくは不変測度 μが) エルゴード的であるとは、任意の $A\in {\mathcal {I}}$ に対して μ(A)=0 または μ(A)=1 が成り立っていることをいう。 これは、測度論の視点から見れば空間 X は T-不変な真の部分空間を持たないということを意味している。 これをエルゴード的と呼ぶ結縁は各種エルゴード定理にある。 エルゴード性は重要な概念であるが、エルゴード理論で扱う力学系はエルゴード的な物に限られるわけではない。

エルゴード定理

最も代表的なのは以下の定理である。

ビーコフのエルゴード定理: $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ を可測力学系とする。 任意の可積な関数 $f\in L_{\mu }^{1}$ に対して、ある $f^{\ast }\circ T=f^{\ast }$ を満たす $f^{\ast }\in L_{\mu }^{1}$ が存在し

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}(x))=f^{\ast }(x)$

がμ-殆んど全ての $x\in X$ で成り立つ。

さらに、μがエルゴード的なら右辺を $f^{\ast }(x)=\int fd\mu$ と定数関数にとれる。

例

• ${\mathcal {B}}([0,1))$ を [0,1) 上のボレル集合族、 $\lambda$ を [0,1) 上のルベーグ測度とする。さらに $\alpha \in \mathbb {R}$ に対して、写像 $R_{\alpha }:[0,1)\rightarrow [0,1)$ を $R_{\alpha }(x)=x+\alpha \mod 1$ と定義する。このとき可測力学系 $([0,1),{\mathcal {B}}([0,1)),\lambda ,R_{\alpha })$ は $\alpha \not \in \mathbb {Q}$ のときに限ってエルゴード的である。
• $b\in \mathbb {N}$ に対して写像 $T_{b}:[0,1)\rightarrow [0,1)$ を $T_{b}(x)=bx\mod 1$ と定義する。このとき可測力学系 $([0,1),{\mathcal {B}}([0,1)),\lambda ,T_{b})$ はエルゴード的である。
• パイこね変換(Baker's map)
• 猫マップ(Arnold's cat map)

同値な条件

$(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ を可測力学系とするとき、次の条件は同値である。

1. $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ はエルゴード的である。
2. 任意の $\mu (A\triangle T^{-1}A)=0$ を満たす $A\in {\mathcal {B}}$ に対して、 $\mu (A)=0$ または $\mu (A)=0$ が成り立つ。
3. 任意の $\mu (A),\mu (B)>0$ を満たす $A,B\in {\mathcal {B}}$ に対して、ある $n\in \mathbb {N}$ があり、 $\mu (T^{-n}A\cap B)>0$ が成り立つ。
4. 任意の $f\in L_{\mu }^{2}$ に対して、 $f\circ T=f$ が $\mu$-殆ど確かに成り立つならば、$f$ は c定数関数である。
5. 任意の $f,g\in L_{\mu }^{2}$ に対して $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f\circ Tg^{k}=\int fd\mu \int gd\mu$ が $\mu$-殆ど確かに成り立つ。

3.は A=B ならばポアンカレの回帰定理によって全ての可測力学系で成り立つ。 エルゴード性はさらに強い回帰の性質を意味していると言える。 5.は混合性と呼ばれる性質の一つである。

混合性

任意の $f\in L_{\mu }^{2}$ に対して $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|f\circ Tg^{k}-\int fd\mu \int gd\mu \right|=0$ が $\mu$-殆ど確かに成り立つとき、 $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ は弱混合的であるという。

また、任意の $f\in L_{\mu }^{2}$ に対して $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|f\circ Tg^{n}-\int fd\mu \int gd\mu \right|=0$ が $\mu$-殆ど確かに成り立つならば強混合的であるという。