利用者:Yosswi414/sandbox

数学において二年生の夢（にねんせいのゆめ、英: sophomore's dream）とは、1697年に数学者ヨハン・ベルヌーイが発見した以下の恒等式(特に1つ目)を指すときの名称として用いられる。

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(\scriptstyle {=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots )}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(\scriptstyle {=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}$

"二年生の夢"という名称は、誤った等式として共に有名な"一年生の夢"とは対照的に付けられたものである。共に簡潔な等式であるという共通点を持つが、一年生の夢は常に成り立たないのに対し、二年生の夢は常に成り立つ。

導出

2つ目の等式を導出する。1つ目の等式も2つ目と同様に導出が可能である。

等式の左辺の被積分関数$\scriptstyle x^{x}$を変形する。

$x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}$

よって、左辺は以下のように表せる。

$\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,\mathrm {d} x$

冪級数の一様収束性より、左辺の積分と総和を以下のように交換できる。

$\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,\mathrm {d} x$

ここで、$\scriptstyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,\mathrm {d} x$について、$\scriptstyle x=\exp \,\left(-{\frac {u}{n+1}}\right)(0<u<\infty )$とおく(置換積分)と、次の式が得られる。

$\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,\mathrm {d} x=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,\mathrm {d} u$

第二種オイラー積分より、

$\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,\mathrm {d} u=\Gamma (n+1)=n!$

なので、

$\int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,\mathrm {d} x=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\Gamma (n+1)=(-1)^{n}n!(n+1)^{-(n+1)}$

である。したがって左辺は、

$\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}$

となる。総和のn=0をn=1となるよう変形すれば、左辺は右辺に一致し、よって式は導出される。

参考文献

• 2年生の夢（sophomore’s dream）, 高校数学の美しい物語, 2016年3月11日

関連項目

• 恒等式
• 積分法
• オイラー積分
• 級数