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導関数については「対数微分 」をご覧ください。
微分積分学 において、対数微分法 (logarithmic differentiation) あるいは対数をとることによる微分 (differentiation by taking logarithms) は関数 f の対数導関数 を用いるすることによって関数 を微分する ために使われる手法である[ 1]
[
ln
(
f
)
]
′
=
f
′
f
→
f
′
=
f
⋅
[
ln
(
f
)
]
′
.
{\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}
このテクニックは関数自身よりもむしろ関数の対数を微分する方が簡単な場合にしばしば実行される。これは通常、対象の関数がたくさんの積からなっており対数によってそれが（微分するのがはるかに簡単な）ばらばらの和になるような場合において起こる。それはまた変数や関数のベキである関数に適用するときにも有用である。対数微分は、チェイン・ルール だけでなく、積を和に、商を差に変えるために対数 （とくに自然対数 、すなわち底が e [ 2] [ 3] 微分可能な関数 の微分において、これらの関数が 0 でないならば、少なくとも部分的には、原理を実行することができる。
関数
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\,\!}
に対して、対数微分は典型的には両辺の自然対数、すなわち底が e [ 4]
ln
|
y
|
=
ln
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|\,\!}
陰関数微分 をすると[ 5]
1
y
d
y
d
x
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}}
そして、左辺 （英語版 ） y を除去して dy /dx だけを残すために y をかける：
d
y
d
x
=
y
×
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}
この手法は対数の性質によって複雑な関数の微分を素早く、単純にするために使われる[ 6] [ 3]
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
,
ln
(
a
b
)
=
ln
(
a
)
−
ln
(
b
)
,
ln
(
a
n
)
=
n
ln
(
a
)
{\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)}
大文字パイ表記 （英語版 ）
f
(
x
)
=
∏
i
(
f
i
(
x
)
)
α
i
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}.}
自然対数を適用すると（大文字シグマ表記 を使って）
ln
(
f
(
x
)
)
=
∑
i
α
i
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x))}
となり、微分すると、
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
∑
i
[
α
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
α
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
]
.
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}
もとの関数の導関数を得るために整理すると
f
′
(
x
)
=
∏
i
(
f
i
(
x
)
)
α
i
(
x
)
⏞
f
(
x
)
×
∑
i
{
α
i
′
(
x
)
⋅
ln
(
f
i
(
x
)
)
+
α
i
(
x
)
⋅
f
i
′
(
x
)
f
i
(
x
)
}
⏞
[
ln
(
f
(
x
)
)
]
′
{\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}
自然対数 は2つの関数の積
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}
に適用されて積を和に変える
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
)
+
ln
(
h
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!}
チェインルール と和の法則 （英語版 ）
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}}
整理すると[ 7]
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
+
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
{\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}
自然対数 は2つの関数の商
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\,\!}
に適用されて割り算を引き算に変える
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
)
−
ln
(
h
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))=\ln {\Bigg (}{\frac {g(x)}{h(x)}}{\Bigg )}=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!}
チェインルール と和の法則 （英語版 ）
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
g
′
(
x
)
g
(
x
)
−
h
′
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}}
整理すると
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
−
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
g
′
(
x
)
g
(
x
)
−
h
′
(
x
)
h
(
x
)
}
{\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}
展開して共通分母 （英語版 ） 商の法則 を
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
次の形の関数に対して
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!}
自然対数 は冪乗を積に変える
ln
(
f
(
x
)
)
=
ln
(
g
(
x
)
h
(
x
)
)
=
h
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))\,\!}
チェインルール と積の法則 （英語版 ）
f
′
(
x
)
f
(
x
)
=
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}}
整理すると
f
′
(
x
)
=
f
(
x
)
×
{
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
}
=
g
(
x
)
h
(
x
)
×
{
h
′
(
x
)
ln
(
g
(
x
)
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
}
.
{\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}
同じ結果は f を exp の言葉で書き直しチェインルールを適用することによって得ることができる。
Calculus/More Differentiation Rules#Logarithmic differentiation に関する解説書・教科書があります。: see for textbook examples of logarithmic differentiation.
^ Krantz, Steven G. (2003). Calculus demystified . McGraw-Hill Professional. pp. 170. ISBN 0-07-139308-0 ^ N.P. Bali (2005). Golden Differential Calculus . Firewall Media. pp. 282. ISBN 81-7008-152-1 ^ a b Bird, John (2006). Higher Engineering Mathematics . Newnes. pp. 324. ISBN 0-7506-8152-7
^ Dowling, Edward T. (1990). Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences . McGraw-Hill Professional. pp. 160. ISBN 0-07-017673-6 ^ Hirst, Keith (2006). Calculus of One Variable . Birkhäuser. pp. 97. ISBN 1-85233-940-3 ^ Blank, Brian E. (2006). Calculus, single variable . Springer. pp. 457. ISBN 1-931914-59-1 ^ Williamson, Benjamin (2008). An Elementary Treatise on the Differential Calculus . BiblioBazaar, LLC. pp. 25–26. ISBN 0-559-47577-2
![{\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b7de91cd8aa179e45a630cef367c78239b62b3)
![{\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36c147dcca7d2378a3e0e964ca18568639d44fa)
![{\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72623945515101eff3fc5880c909c33c56e63aba)
ウィキブックスには、Calculus/More Differentiation Rules#Logarithmic differentiationに関する解説書・教科書があります。: see for textbook examples of logarithmic differentiation.
