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微分積分学における商の法則(しょうのほうそく、英: quotient rule)は二つの可微分函数の比(商)となっている函数の導函数の計算を述べるものである[1][2][3]。
具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82716522b2b3cc19edf82b02a632d1b6156d0759)
で与えられる。
陰函数微分による証明 —
f(x) = g(x)/h(x) ならば g(x) = f(x)h(x) であるから、積の法則により
となり、f′ について解けば
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aeffb52319806d91ec0fa695cce2dbce709e613)
を得る。
連鎖律による証明 —
f(x) = g(x)/h(x) = g(x)⋅h(x)−1 と見れば、積の法則により
であり、右辺第二項の微分は連鎖律のもとで冪の微分法則(英語版)を用いれば、結局
![{\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot \color {green}(-1)h(x)^{-2}h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d0208e9940c29ea18752dc7d36ce08db7a01dd)
を得る。整理すれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75259e373171babf598835ef9e89c0207cf70b1e)
となる。
- f(x) ≔ tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {({\frac {d}{dx}}\sin x)(\cos x)-(\sin x)({\frac {d}{dx}}\cos x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e2a6d387d727118f9bcc8a531a125c8e542cf9)
高階版[編集]
陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も((n −1)-階までの導函数を用いて)計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば
![{\displaystyle f''=\left({\frac {g}{h}}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54e5d4ef41d0fb0bfd7471794a916f97f9b5196)
を得る。
関連項目[編集]
参考文献[編集]