微分積分学 における関数の微分 （かんすうのびぶん、英 : differential of a function ）とは、直感的には変数 の無限小 増分に対する関数 の増分であり、独立変数を変化させた時の関数値の変化の主要部 （英語版 ） y = f (x ) が与えられた時、y の微分 (differential) dy は次のように定義される。
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle dy=f'(x)\,dx}
あるいは以下のように表記することも出来る。
d
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}
ここで f ' (x ) はf のx に関する導関数 、またdx はx とは別の変数である（即ちdy はx とdx の関数ということになる）。
導関数を以下のように書くことも出来る。これは導関数を微分の商（微分商）の形として表記するライプニッツ 流の表記に合致するものである。
d
y
=
d
y
d
x
d
x
{\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}
変数 dy と dx の正確な意味は、各分野における文脈と、要求される数学的な厳密さの程度により変わりうる。微分幾何学 においては特定の微分形式 としての重要性を持ち、解析学 においては関数の値の変化量に対する線型近似 と見なすことが出来る。物理学 的な文脈においてはしばしば、変数 dx と dy を微小な（無限小）変化量として規定することがある。
点 x 0 における関数 ƒ (x ) の微分 現代的な微分学において、微分は以下の様に定義される[ 1] [ 2] x の関数 f (x ) の微分 (differential) は次の式で与えられる2つの独立実変数 x と Δx の関数 df である：
d
f
(
x
,
Δ
x
)
=
def
f
′
(
x
)
Δ
x
.
{\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}f'(x)\,\Delta x.}
引数の一方あるいは両方を省いて、df (x ) や単に df とも書かれる。y = f (x ) であれば、微分はまた dy とも書かれる。dx (x , Δx ) = Δx であるから、dx = Δx と書くのが慣習であり、次の等式が成り立つ：
d
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}
微分のこの概念は関数の線型近似 を求めたいとき（このとき増分 Δx の値は十分小さい）に、広く適用可能である。より正確には、f が x において微分可能な関数 であれば、y の値の差
Δ
y
=
d
e
f
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y{\stackrel {\rm {def}}{=}}f(x+\Delta x)-f(x)}
は
Δ
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
+
ε
=
d
f
(
x
)
+
ε
{\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}
を満たす。ここで近似における誤差 ε は、Δx → 0 のとき ε/Δx → 0 を満たす。言い換えると、近似式
Δ
y
≈
d
y
{\displaystyle \Delta y\approx dy}
が成り立ち、その誤差は Δx に対して相対的にいくらでも小さくすることが、Δx を十分小さく取るすることによってできる。つまり、Δx → 0 のとき
Δ
y
−
d
y
Δ
x
→
0
{\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}
である。この理由のために、関数の微分は関数の増分の主要（線型）部 （英語版 ） x の線型関数 であり、誤差 ε は非線型かもしれないが、Δx が 0 に向かうとき急速に 0 に向かう。
多変数関数の微分は以下の様に定義される[ 3]
y
=
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,}
で定義される多変数関数を考える。n 個の独立変数 うち任意の一つ x i dx i y の増分の主要部は、y の x i 偏微分 を用いて
∂
y
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}}
と表される。全ての独立変数について以下の様に総和を取ったものを全微分 （total differential）または単に微分と呼び、これが独立変数 x 1 …x n y の増分の主要部にあたる。
d
y
=
∂
y
∂
x
1
d
x
1
+
⋯
+
∂
y
∂
x
n
d
x
n
{\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}}
より正確には、多変数関数の微分は以下の様に定義される[ 4] f が微分可能関数であるならばフレシェ微分 可能の定義より、その増分は
Δ
y
=
f
(
x
1
+
Δ
x
1
,
…
,
x
n
+
Δ
x
n
)
−
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∂
y
∂
x
1
Δ
x
1
+
⋯
+
∂
y
∂
x
n
Δ
x
n
+
ε
1
Δ
x
1
+
⋯
+
ε
n
Δ
x
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}=f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}
で与えられ、この時増分Δx i i
d
y
=
∂
y
∂
x
1
Δ
x
1
+
⋯
+
∂
y
∂
x
n
Δ
x
n
{\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}}
一変数の場合と同様に、
d
x
i
(
Δ
x
1
,
…
,
Δ
x
n
)
=
Δ
x
i
{\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i}}
であるから、
d
y
=
∂
y
∂
x
1
d
x
1
+
⋯
+
∂
y
∂
x
n
d
x
n
{\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}
となる。このdy は、
d
y
≈
Δ
y
{\displaystyle dy\approx \Delta y}
と見なせる。この誤差は変数の増分を十分に小さく取ることにより、
Δ
x
1
2
+
⋯
+
Δ
x
n
2
{\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}
独立変数 x に関する一変数関数 y = f (x ) の2階の微分は以下の様に表される[ 5]
d
2
y
=
d
(
d
y
)
=
d
(
f
′
(
x
)
d
x
)
=
f
″
(
x
)
(
d
x
)
2
{\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2}}
より高階の場合について一般化すると、
d
n
y
=
f
(
n
)
(
x
)
(
d
x
)
n
{\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}}
これは以下の形に書くことにより、高階導関数のライプニッツ表記に合致するものである。
f
(
n
)
(
x
)
=
d
n
f
d
x
n
.
{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}
変数 x 自体が他の変数に依存する関数である時は、 x の高階の微分も式に含まれるため、上記よりも複雑な形となる。2階、3階の場合の例を挙げる。
d
2
y
=
f
″
(
x
)
(
d
x
)
2
+
f
′
(
x
)
d
2
x
d
3
y
=
f
‴
(
x
)
(
d
x
)
3
+
3
f
″
(
x
)
d
x
d
2
x
+
f
′
(
x
)
d
3
x
{\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}
f が変数 x と y の2変数関数である時、
d
n
f
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
∂
n
f
∂
x
k
∂
y
n
−
k
(
d
x
)
k
(
d
y
)
n
−
k
,
{\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}
ここで
(
n
k
)
{\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{k}}}
二項係数 である。より一般の多変数の場合にも、多項係数 を用いて拡張することにより同様の式に表すことが出来る[ 6]
多変数関数の場合も、変数が他の変数に依存する場合は高階の微分がより複雑な形となる。f が変数 x と y の2変数関数であり、かつ x と y がそれぞれ他の補助変数に依存する関数である時、f の2階の微分は以下の様になる。
d
2
f
=
(
∂
2
f
∂
x
2
(
d
x
)
2
+
2
∂
2
f
∂
x
∂
y
d
x
d
y
+
∂
2
f
∂
y
2
(
d
y
)
2
)
+
∂
f
∂
x
d
2
x
+
∂
f
∂
y
d
2
y
.
{\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}
より一般的には、x の関数f の増分Δx に対するn 階の微分は、以下の様に定義される。
d
n
f
(
x
,
Δ
x
)
=
d
n
d
t
n
f
(
x
+
t
Δ
x
)
|
t
=
0
{\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}
もしくは等価な表現として、
lim
t
→
0
Δ
t
Δ
x
n
f
t
n
{\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}
ここで
Δ
t
Δ
x
n
f
{\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}
t Δx に対するn 階の前進差分演算子 である。f が多変数関数の場合にもx を引数ベクトルと見なすことにより同様の形でf の微分を定義出来る。すると定義により、n 階の微分はベクトルx の増分Δx に関する斉次関数 となる。さらに、f の点x におけるテーラー展開 が以下の式で与えられる。
f
(
x
+
Δ
x
)
∼
f
(
x
)
+
d
f
(
x
,
Δ
x
)
+
1
2
d
2
f
(
x
,
Δ
x
)
+
⋯
+
1
n
!
d
n
f
(
x
,
Δ
x
)
+
⋯
{\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }
高階のガトー微分 はこれを無限次元関数空間 に拡張したものと考えることが出来る。
微分のいくつかの性質は、それぞれ対応する導関数の性質をそのまま当てはめた形で表現出来る[ 7]
線型性 : 定数 a 、b と微分可能な関数f 、g に対して、
d
(
a
f
+
b
g
)
=
a
d
f
+
b
d
g
.
{\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}
d
(
f
g
)
=
f
d
g
+
g
d
f
.
{\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}
抽象代数学 においては、これら2つの性質を満たす作用素d を導分 （英語版 ）
またこの性質により、累乗の微分に関して以下の関係が成り立つ。
d
(
f
n
)
=
n
f
n
−
1
d
f
{\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}
連鎖律 が成り立つ[ 8]
y = f (u ) が変数u に関する微分可能関数で、かつu = g (x ) が変数x に関する微分可能関数である時、
d
y
=
f
′
(
u
)
d
u
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}
多変数関数 y = f (x 1 , ..., x n x 1 , ..., x n t の関数である時、
d
y
=
d
y
d
t
d
t
=
∂
y
∂
x
1
d
x
1
+
⋯
+
∂
y
∂
x
n
d
x
n
=
∂
y
∂
x
1
d
x
1
d
t
d
t
+
⋯
+
∂
y
∂
x
n
d
x
n
d
t
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}
ユークリッド空間 における関数f : R n R m f の微分を考えることが出来る。
ベクトルx , Δx ∈ R n f の増分Δf は
Δ
f
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}
ここで、以下の式
Δ
f
=
A
Δ
x
+
‖
Δ
x
‖
ε
{\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}
においてベクトルΔx → 0 のとき ε m ×n 行列 A が存在するならば、定義より関数f は点 x において微分可能である。この行列A はヤコビ行列 とも呼ばれ、そしてΔx ∈ R n 線形写像 A Δx ∈ R m f の点x における微分df (x ) と呼ばれる。これは即ちフレシェ微分 であり、任意のバナッハ空間 における関数に対しても同様に定式化することが出来る。
^ Courant 1937i , Kline 1977 , Goursat 1904 , Hardy 1908 などを参照。^ 高木貞治. 解析概論 改訂第3版. ISBN 4-00-005171-7 . pp36-37 も参照
^ Goursat (1904 , I, §15)^ Courant & 1937ii ^ Cauchy 1823 , Goursat 1904 , I, §14^ Goursat 1904 , I, §14^ Goursat 1904 , I, §17^ Goursat 1904 , I, §§14,16
Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal , http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0 Courant, Richard (1937i), Differential and integral calculus. Vol. I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (1988発行), ISBN 978-0-471-60842-4 , MR 1009558 Courant, Richard (1937ii), Differential and integral calculus. Vol. II , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (1988発行), ISBN 978-0-471-60840-0 , MR 1009559 Goursat, Édouard (1904), A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry Dover Publications (1959発行), MR 0106155 , https://archive.org/details/coursemathanalys01gourrich Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2 Kline, Morris (1977), “Chapter 13: Differentials and the law of the mean”, Calculus: An intuitive and physical approach , John Wiley and Sons 
