テイラー多項式の次数が上がるにつれて、正しい関数に近づく。この図は sin x と、そのテイラー近似のうち、1 3 5 7 9 11 13 指数関数 e x 0 におけるテイラー級数の最初の n + 1数学 においてテイラー級数 （テイラーきゅうすう、英 : Taylor series ）は、関数 のある一点での導関数 の値から計算 される項の無限和 として関数を表したものである。そのような級数 を得ることをテイラー展開 （テイラーてんかい）という。
テイラー級数の概念はスコットランド の数学者ジェームズ・グレゴリー により定式化され、フォーマルにはイギリス の数学者ブルック・テイラー によって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (英 : Maclaurin series ) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリン にちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。
関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似 することができる。テイラーの定理 はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式 と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限 が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束 するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間 （あるいは複素平面 の開円板 ）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数 と呼ばれる。
前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子 の問題では、振り子の振れ角 x が充分小さいことを利用して、正弦関数 sin x を x で近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。
正弦関数
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin x}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
∑
k
=
0
n
f
(
k
)
(
a
)
k
!
(
x
−
a
)
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
（マウスホイールで
n
{\displaystyle n}
）
点 a を含む実数 の開区間 I ⊆ R 微分可能 な関数 f ∈ C ∞ (I )べき級数
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
を関数 f の点 a まわりのテイラー級数 という。ここで n !n の階乗 、f (n ) (a )x = a f の n 次微分係数 である[ 注 1] (x − a )0 は 1 であると定義する[ 注 2] 収束 し、元の関数 f に一致するとき、f はテイラー展開可能 であるという。テイラー展開がある大域的な領域 の各点で可能な関数は、その領域において解析的 (analytic ) である、またはその領域上の解析関数 analytic function ) であるという。
ここで一般には関数 f が無限回微分可能であってもそのテイラー級数が x ≠ a テイラーの定理 における剰余項 Rn が 0 に収束するかどうかによって判定できる；ここで剰余項 Rn は、ある c ∈ (a , x )
R
n
(
x
)
=
f
(
n
)
(
c
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle R_{n}(x)={f^{(n)}(c) \over n!}(x-a)^{n}}
と書ける。または積分を用いて、次のように表せる。
R
n
(
x
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
n
)
(
t
)
d
t
{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t}
また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる（テイラーの定理#例 を参照）。
特に a = 0
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
をマクローリン展開 （マクローリンてんかい、英 : Maclaurin expansion ; 名称は数学者コリン・マクローリン に由来する）と呼ぶ。
いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。x についてのforの範囲外の実数をx に代入したら発散 する（ただし、元の関数が収束することもある）。
なお、tan(x ), csc(x ), cot(x ), tanh(x ) の展開に現われる Bk 、二項展開の
(
α
n
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {\alpha }{n}}}
sec(x ) の展開に現われる Ek はそれぞれベルヌーイ数 、二項係数 、オイラー数 である。また、f −1 (x )f (x )逆関数 であるとする。
多項式 多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
指数関数
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
for all
x
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ for all }}x}
自然対数
log
(
1
−
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
x
n
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
幾何級数
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{for }}|x|<1}
1
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
−
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
x
(
1
−
x
)
2
=
∑
n
=
0
∞
n
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
2
(
1
−
x
)
3
=
∑
n
=
2
∞
(
n
−
1
)
n
x
n
−
2
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {2}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }(n-1)nx^{n-2}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
2
x
2
(
1
−
x
)
3
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
1
)
n
x
n
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n-1)nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
二項定理
(
1
+
x
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
x
n
for
|
x
|
<
1
and any complex
α
{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}\quad {\mbox{for }}|x|<1{\mbox{ and any complex }}\alpha }
三角関数
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
for all
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
for all
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
(
−
4
)
n
(
1
−
4
n
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}
csc
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
−
2
2
n
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
for
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2-2^{2n})B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi }
sec
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
E
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}
cot
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
for
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}0<|x|<\pi }
sin
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sin ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
cos
−
1
x
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \cos ^{-1}x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
tan
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
x
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \tan ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
双曲線関数
sinh
x
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
for all
x
{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x}
cosh
x
=
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
)
!
x
2
n
for all
x
{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x}
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
B
2
n
4
n
(
4
n
−
1
)
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
for
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}
sinh
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
4
n
(
n
!
)
2
(
2
n
+
1
)
x
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \sinh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
tanh
−
1
x
=
∑
n
=
0
∞
1
2
n
+
1
x
2
n
+
1
for
|
x
|
<
1
{\displaystyle \tanh ^{-1}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ for }}|x|<1}
ランベルトのW関数
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
for
|
x
|
<
1
e
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<{\frac {1}{e}}}
点 a を含む開集合 D ⊆ C 微分可能 、すなわち正則 な複素関数 f べき級数
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}
を関数 f の点 a まわりのテイラー級数 という。正則関数の解析性 から、点 a を中心として D に包含されるような任意の開円板 B (a ,r ) = { z ∈ C | |z − a | < r } ⊆ D 上でこの級数は f (a )
剰余項 Rn は複素線積分 を用いて、次のように表せる：
R
n
(
z
)
=
(
z
−
a
)
n
[
1
2
π
i
∫
C
f
(
w
)
(
w
−
a
)
n
(
w
−
z
)
d
w
]
{\displaystyle R_{n}(z)=(z-a)^{n}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(w)}{(w-a)^{n}(w-z)}}\mathrm {d} w\right]}
ここで C a z D に含まれるような反時計回りの円周 である。
テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数 にも適用できる。d 変数関数 f のテイラー展開は以下の式である。
f
(
x
1
,
…
,
x
d
)
=
∑
n
1
=
0
∞
∑
n
2
=
0
∞
⋯
∑
n
d
=
0
∞
(
x
1
−
a
1
)
n
1
⋯
(
x
d
−
a
d
)
n
d
n
1
!
⋯
n
d
!
(
∂
n
1
+
⋯
+
n
d
f
∂
x
1
n
1
⋯
∂
x
d
n
d
)
(
a
1
,
…
,
a
d
)
.
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!}
多重指数記法 を用いれば、d 変数関数 f (x )
f
(
x
)
=
∑
α
∈
N
0
d
(
x
−
a
)
α
α
!
(
∂
α
f
)
(
a
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}^{}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\,({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}\,f)(\mathbf {a} )}
アインシュタインの縮約記法 を用いれば、多変数関数 f (xμ )
f
(
x
μ
)
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
[
(
x
μ
−
α
μ
)
∂
μ
]
n
f
(
α
μ
)
{\displaystyle f(x^{\mu })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[(x^{\mu }-\alpha ^{\mu })\partial _{\mu }\right]^{n}f(\alpha ^{\mu })}
上式の ∂μ は微分演算子 であり、ベクトル解析 の記法では ∇ に置き換えられる。一番後ろに f (αμ )f (xμ )f (xμ )αμ を与えることを表していることに注意する。
^ f の 0 次導関数 は f 自身である。^ 0の0乗 も参照。定義の衝突を避けるならば、単に n = 0n = 0
![{\displaystyle R_{n}(z)=(z-a)^{n}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(w)}{(w-a)^{n}(w-z)}}\mathrm {d} w\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc02af272ae5bfd58581669a51880b43c1d3d6c6)
![{\displaystyle f(x^{\mu })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[(x^{\mu }-\alpha ^{\mu })\partial _{\mu }\right]^{n}f(\alpha ^{\mu })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db3d3c6724cb4ee17445f5e3ed361496f0c52202)
