平方完成

平方完成の過程を示したアニメーション。(Details, animated GIF version)

平方完成（へいほうかんせい、英: completing the square）とは、二次式（二次関数）を式変形して $a(x-h)^{2}$ の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。

$ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k\quad (a\neq 0)$

$x-h$ の $h$ を除けば、つまり $x-h=t$ と変換すれば

$at^{2}+k$

の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：

• 二次方程式の解を求める（→二次方程式の解の公式）
• 二次関数のグラフの頂点の座標を求める
• 微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算
• ラプラス変換の計算

また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（#類似の手法）。

概観

二次式 $ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)$ において、一次の項「$+\;\!\;\!bx$」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 $x$ が $x-h$ の形になる代わりに一次の項がなくなれば、$h$ の違いだけで済むことができる。

ここでは、二次の係数（最高次係数）が 1 の場合とそうでない場合に分けてみる。

二次の係数（最高次係数）が 1 の場合

$x^{2}+bx+c$

の一次の項「$+\;\!\;\!bx$」をなくして $x^{2}$ を $(x-h)^{2}$ の形にする。

$(x-h)^{2}=x^{2}-2hx+h^{2}$

より、一次の係数を比較すると

$b=-2h$

$h=-{\frac {b}{2}}$

これにより、x² + bx + c の平方完成は次の式になる：

$x^{2}+bx+c=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$

二次の係数（最高次係数）が 1 でない場合

$ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$

の一次の項「$+\;\!\;\!bx$」をなくして $x$ を $x-h$ にする。

二次の係数が 1 の場合で得られた等式

$x^{2}+bx=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}$

を利用する。

${\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\\&=a\left\{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right\}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}$

つまり、一次以上の項を二次の係数 a で括ることにより、二次の係数が 1 の場合を利用している。

二次形式の平方完成

1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の n 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f\quad (abc\neq 0)$

である。これは二次形式

${\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}+f\quad (abc\neq 0)$

の形で書ける。

一般の n 変数二次式は、A を対称行列として

${}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^{t}(x-h)A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}{}^{t}bA^{-1}b\right)$

で書ける。

A が対称でないときは h と k の式が

$h=-(A+{}^{t}A)^{-1}b,\quad k=c-{}^{t}hAh=c-{}^{t}b\,(A+{}^{t}A)^{-1}A\,(A+{}^{t}A)^{-1}b$

とやや一般になるが同じ式で書ける。

幾何学的解釈

二次方程式

$x^{2}+bx=a$

を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

x² は一辺が x の正方形の面積、bx は縦横が b, x の長方形の面積に等しい。面積 bx の長方形を2等分割して、長さ x の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が b/2 の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に (b/2)² を加えると、平方 (x + b/2)² が完成する。

類似の手法

平方完成とは、u² + 2uv の形の式に第三項 v² を加えて完全平方式を作る操作である。u² + v² が先に与えられていても、中間項 2uv または −2uv を加えることにより完全平方式を得ることができる。

相反式の平方完成

正の実数 x に対して、自身とその逆数の和は

${\begin{aligned}x+{\frac {1}{x}}&=\left(x-2+{\frac {1}{x}}\right)+2\\[5pt]&=\left({\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$

このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。

複二次式の因数分解

複二次式

$x^{4}+324$

を因数分解することを考える。この式は $(x^{2})^{2}+18^{2}$ と見ることができるから、中間項 2(x²)(18) = 36x² を考え、

${\begin{aligned}x^{4}+324&=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$

と因数分解できる。

二次方程式の解

→「二次方程式の解の公式」を参照

二次関数のグラフ

二次関数のグラフが x軸方向に h = 0, 5, 10, 15 平行移動する様子。

二次関数のグラフが y軸方向に k = 0, 5, 10, 15 平行移動する様子。

二次関数のグラフが x軸方向、y軸方向共に 0, 5, 10, 15 ずつ平行移動する様子。

二次関数 $y=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$ の xy-座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式 $ax^{2}+bx+c$ を平方完成して

$y=a(x-h)^{2}+k$

これのグラフは、放物線 $y=ax^{2}$ を x軸方向に $h$、y軸方向に $k$ 平行移動したものであると分かる。特に、頂点（停留点）があり、その座標は

$(h,k)$

であることが分かる。軸の方程式は

$x=h$

である。

a > 0 の場合、x = h で最小値 k をとる。

a < 0 の場合、x = h で最大値 k をとる。

応用

積分

不定積分

$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$

の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分

$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C$

または

$\int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C$

に帰着できる（$C$は積分定数）。

複素数

z を複素数とするとき、

$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c$

（b は複素数、c は実数）

（z*, b* はそれぞれ z, b の複素共役）

は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式 |u|² = uu* を用いて、式を以下のように変形すると分かる：

${\begin{aligned}|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c&=zz^{*}-b^{*}z-bz^{*}+bb^{*}-bb^{*}+c\\&=z(z^{*}-b^{*})-b(z^{*}-b^{*})-|b|^{2}+c\\&=(z-b)(z^{*}-b^{*})-|b|^{2}+c\\&=(z-b)(z-b)^{*}-|b|^{2}+c\\&=|z-b|^{2}-|b|^{2}+c\end{aligned}}$

別の例として、a, b, x, y を実数とするとき、

$ax^{2}+by^{2}$

は、a > 0, b > 0 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y$ と置けば

${\begin{aligned}|z|^{2}&=zz^{*}\\&=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&=ax^{2}+by^{2}\end{aligned}}$

となる。

冪等行列

正方行列 M が冪等とは M² = M が成り立つことである。

$M={\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$

は、$a^{2}+b^{2}=a$ ならば冪等行列である。平方完成により

$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}$

M が実行列なら、これは ab-平面において中心 (1/2, 0)、半径 1/2 の円の方程式である。角度 θ を用いて書けば、

$M={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}$

と媒介変数表示できる。

参考文献

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pp.539-544
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Completing the Square". mathworld.wolfram.com (英語).
• completing the square in nLab（英語）
• Completing the square - PlanetMath.org（英語）
• Completing the Square at ProofWiki（英語）
• How to Complete the Square, Education Portal Academy（英語）
• 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語