指数閉体

数学における指数閉体（しすうへいたい、英: exponentially closed field; 指数的に閉じた体） $F$ とは、 $F$ は順序指数体 —すなわち、 $F$ は順序体で、なおかつ「指数函数」と呼ばれる $F$ の加法群から $F$ の正元の成す乗法群の上への準同型 $E$ を持つ体（指数体）であって、 $E$ が順序写像となるもの— であって、その「指数函数」 $E$ が群同型かつ適当な自然数 $n$ に対して $1 + 1/ n < E (1) < n$ を満足するものを言う。

例

標準的な指数閉体の例は、実数全体の成す順序体である。ここで「指数函数」 $E$ としては、任意の $a > 1$ を底に持つ指数函数をとれる。

性質

任意の指数閉体 F は冪根（拡大）で閉じている (root-closed)。つまり、F の任意の正元は任意の自然数 n に対する n-乗根を F 内に持つ、別な言い方をすれば F の正元全体の成す乗法群は可除である。これは ${\textstyle E({\frac {1}{n}}E^{-1}(a))^{n}=E(E^{-1}(a))=a\quad (\forall a>0)}$ ${\textstyle E({\frac {1}{n}}E^{-1}(a))^{n}=E(E^{-1}(a))=a\quad (\forall a>0)}$ が成り立つことによる。
- その帰結として、任意の指数閉体はユークリッド体（英語版）となる。
- その帰結として、任意の指数体は順序ピタゴラス体（英語版）となる。
必ずしもすべての実閉体が指数閉体となるわけではない。例えば、実代数的数体は指数閉でない。実際、実数体の任意の指数閉部分体 F において「指数函数」E は適当な (1 <)a ∈ F に対して E(x) = a^x の形にとれ、しかし a が代数的数ならばゲルフォント–シュナイダーの定理により E(√2) = a^√2 は代数的でない。
- その帰結として、指数閉体の成す類は初等的（英語版）（一階の理論で公理化可能）でないことが従う（これは、実数体と実代数的数体が、互いに初等同値（英語版）な構造であることによる）。
指数閉体の類は擬初等類（英語版）である。これは体 $F$ が指数閉となるための必要十分条件として「上への函数 $E 2 : F \to F \times +$ で $E 2 (1) = 2$ となるものが存在すること」を挙げることができて、この $E 2$ は一階公理化可能であることによる。

参考文献

Alling, Norman L. (1962). “On Exponentially Closed Fields”. Proceedings of the American Mathematical Society 13 (5): 706–711. doi:10.2307/2034159. Zbl 0136.32201. http://www.jstor.org/pss/2034159.