順序指数体

数学における順序指数体（じゅんじょしすうたい、英: ordered exponential field）は、順序体であって（実数全体の成す順序体上の指数函数の概念を一般化する）適当な条件を満たす函数を備えたものを言う。

定義

順序体 $K$ 上で定義された指数函数 (exponential) $E$ とは、加法群 $K$ から乗法群 $K \times$ の上への狭義単調増大な群準同型を言い、順序体 $K$ とその上の指数函数 $E$ との対 $(K, E)$ を順序指数体と呼ぶ。

例

順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体 $ℝ$ に $a x$ ( $a > 1$ ) の形に書ける任意の指数函数を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然指数函数 $E (x) ≔ e x$ がある。順序体 $ℝ$ と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を $ℝ exp$ で表す。1990年代には $ℝ exp$ がモデル完備（英語版）であることが示され、ウィルキーの定理（英語版）と呼ばれる。この結果とパフ函数（英語版）に関する Khovanskiĭ の定理を併せれば $ℝ exp$ が o-極小（英語版）でもあることが示される^[1]。アルフレッド・タルスキ―が $ℝ exp$ の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれをタルスキーの指数函数問題（英語版）と呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば $ℝ exp$ が決定可能であるということは知られている^[2]。
超現実数全体の成す順序体 $𝐍𝐨$ には $ℝ$ 上の自然指数函数 $exp$ の延長となる指数函数が定義できる。 $𝐍𝐨$ はアルキメデス性を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
対数指数超級数（英語版）全体の成す順序体 $𝕋 LE$ は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

形式指数体

形式指数体あるいは指数閉体とは、（本項で言う意味での）指数函数 $E$ を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体 $K$ に対し、 $K$ 上の指数函数 $E$ を適当な自然数 $n$ に対して $1 + 1/ n < E (1)$ を満たすように選ぶことができる^[3]。

性質

任意の順序指数体 K は冪根閉 (root-closed) である。すなわち K の任意の正元が任意の正整数 n に対する n-乗根を持つ（別な言い方をすれば、K の正元全体の成す乗法群が可除群を成す）。このことは、任意の a > 0 に対して ${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$ ${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$ となることを見ればわかる。
- これにより、任意の順序指数体はユークリッド体（英語版）になることがわかる。
- これにより、任意の順序指数体は順序ピタゴラス体（英語版）であることがしたがう。
任意の実閉体が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実代数的数全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体 K において、指数函数 E は適当な元 a ∈ K (a > 1) に対して E(x) = a^x の形をしていなければならない、にも拘らず ${\textstyle E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}}$ ${\textstyle E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}}$ が a > 1 のとき代数的でないことがゲルフォント–シュナイダーの定理から従う。
- その帰結として、形式指数体全体の成すクラスは初等類（英語版）でないことが言える（実数体と実代数的数体は初等同値（英語版）な構造であった）。
形式指数体全体の成すクラスは擬初等類（英語版）である。これは体 $K$ が指数閉であるための必要十分条件が、全射 $E 2 : K \to K +$ が存在して $E 2 (x + y) = E 2 (x) E 2 (y)$ かつ $E 2 (1) = 2$ となることであり、 $E 2$ に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。

注

^ A.J. Wilkie, Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc., 9 (1996), pp. 1051–1094.
^ A.J. Macintyre, A.J. Wilkie, On the decidability of the real exponential field, Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).
^ Salma Kuhlmann, Ordered Exponential Fields, Fields Institute Monographs, 12, (2000), p. 24.

参考文献

Alling, Norman L. (1962). “On Exponentially Closed Fields”. Proceedings of the American Mathematical Society 13 (5): 706–711. doi:10.2307/2034159. JSTOR 2034159. Zbl 0136.32201.
Kuhlmann, Salma (2000), Ordered Exponential Fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, doi:10.1090/fim/012, ISBN 0-8218-0943-1, MR1760173

[1] A.J. Wilkie, Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J. Amer. Math. Soc., 9 (1996), pp. 1051–1094.

[2] A.J. Macintyre, A.J. Wilkie, On the decidability of the real exponential field, Kreisel 70th Birthday Volume, (2005).

[3] Salma Kuhlmann, Ordered Exponential Fields, Fields Institute Monographs, 12, (2000), p. 24.

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定義

例

形式指数体

性質

関連項目

注

参考文献