振動積分作用素

数学の調和解析の分野における振動積分作用素（しんどうせきぶんさようそ、英: oscillatory integral operator）とは、次の形式で記述される積分作用素のことを言う：

$T_{\lambda }u(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{i\lambda S(x,y)}a(x,y)u(y)\,dy,\qquad x\in \mathbf {R} ^{m},\quad y\in \mathbf {R} ^{n}.$

ここで、函数 S(x,y) は作用素のフェーズ（phase）と呼ばれ、函数 a(x,y) は作用素のシンボルと呼ばれる。λ はパラメータである。しばしば、S(x,y) は滑らかな実数値函数で、a(x,y) は滑らかかつコンパクトな台を持つ函数であると仮定される。通常、大きな値を取る λ に対する作用素 T_λ の挙動に、研究の興味は注がれる。

振動積分作用素は、数学の多くの分野（解析学、偏微分方程式論、積分幾何学、数論など）や、物理学の分野において、たびたび扱われる。振動積分作用素の性質は、エリアス・スタインとその学派によって研究されている。

ヘルマンダーの定理

振動積分作用素の L² → L² 作用（あるいは、L² → L²作用素ノルム）に対する上界についての次に述べる結果は、フーリエ積分作用素に関するラース・ヘルマンダーの論文において得られたものである。

x,y ∈ Rⁿ, n ≥ 1 について考える。S(x,y) を実数値の滑らかな函数とし、a(x,y) を滑らかかつコンパクトな台を持つ函数とする。a(x,y) の台の上の至る所で $\mathop {\rm {det}} _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0$ が成り立つなら、初めは滑らかな函数として定義される T_λ を L²(Rⁿ) から L²(Rⁿ) への連続作用素へと拡張し、そのノルムが任意の λ ≥ 1 に対して $C\lambda ^{-n/2}\,$ で評価されるようなある定数 C が存在する。すなわち、

$||T_{\lambda }||_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}$

が成立するような、ある定数 C が存在する。

関連文献

• 藪田公三、中路貴彦、佐藤圓治、田中仁、宮地晶彦：「解析学百科I：古典調和解析」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11726-4 (2008年3月15日)。第4章："振動積分と掛谷問題"。