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曲率 （きょくりつ、英 : curvature ）とは、曲線 や曲面 の曲がり具合を表す量である[ 1]
例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体 においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンス とされ、ニュートン の貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ 、ベルヌーイ 、ムーニエ なども研究した[ 2]
ある任意の曲線において、線上の点 P 0 を基点とし、そこから曲線上の任意点 P （位置ベクトル r P s とする。（この場合の s は一般座標上の距離か曲線上の長さのいずれでもよい。）
このとき点 P の位置は、
r
P
=
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} (s)}
のように、変数 s の関数として表すことができる。（以下、特に断らない限り r P r とする。）
このとき、点 P で接する方向の単位ベクトル （これを t P
t
P
=
t
(
s
)
=
lim
Δ
s
→
0
r
(
s
+
Δ
s
)
−
r
(
s
)
Δ
s
=
d
r
d
s
{\displaystyle \mathbf {t} _{P}=\mathbf {t} (s)=\lim _{\Delta s\to 0}{\mathbf {r} (s+\Delta s)-\mathbf {r} (s) \over {\Delta s}}={d\mathbf {r} \over {ds}}}
となる。（位置ベクトルの変位分 Δ r が十分小さいとき、|Δ r | = Δs であるから、これは単位ベクトルである。）
同様に、
r
Q
=
r
(
s
+
Δ
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} (s+\Delta s)}
Q を考えるとき、点 Q 上の単位接線ベクトル t Q
t
Q
=
t
(
s
+
Δ
s
)
{\displaystyle \mathbf {t} _{Q}=\mathbf {t} (s+\Delta s)}
であり、二つの単位接線ベクトル t P t Q Δθ とすると、
|
t
Q
−
t
P
|
2
=
sin
Δ
θ
2
{\displaystyle {\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right| \over 2}=\sin {\Delta \theta \over 2}}
である。
Δθ が十分小さい、すなわち Δ s が十分小さいとき、
Δ
θ
=
sin
Δ
θ
=
|
t
Q
−
t
P
|
{\displaystyle \Delta \theta =\sin \Delta \theta =\left|\mathbf {t} _{Q}-\mathbf {t} _{P}\right|}
と見做せる。
従って、接線傾斜 Δθ の変動率である χ を以下のように定義できる。
χ
(
s
)
=
d
θ
d
s
=
lim
Δ
s
→
0
Δ
θ
Δ
s
=
lim
Δ
s
→
0
|
t
(
s
+
Δ
s
)
−
t
(
s
)
Δ
s
|
=
|
d
t
d
s
|
=
|
d
2
r
d
s
2
|
=
1
R
(
s
)
{\displaystyle \chi (s)={d\mathbf {\theta } \over {ds}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\Delta \theta \over {\Delta s}}=\lim _{\Delta s\to 0}\left|{\mathbf {t} (s+\Delta s)-\mathbf {t} (s) \over {\Delta s}}\right|=\left|{d\mathbf {t} \over {ds}}\right|=\left|{d^{2}\mathbf {r} \over {ds}^{2}}\right|={1 \over R(s)}}
一般に χ を曲率 、χ の逆数 R を曲率半径 と言う。
また、特に曲線が高次のとき、Δs → 0 の極限 で二つの接線によって決まる平面を、点 P における接触平面
更に、t を s で微分すると、
d
t
d
s
=
d
2
r
d
s
2
=
n
d
θ
d
s
=
n
R
{\displaystyle {d\mathbf {t} \over {ds}}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}=\mathbf {n} {d\theta \over {ds}}={\mathbf {n} \over R}}
が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r /ds が単位ベクトルのため、
(
d
r
d
s
)
2
=
|
d
r
d
s
|
2
=
1
{\displaystyle \left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}=\left|{d\mathbf {r} \over {ds}}\right|^{2}=1}
となり、これを s について微分すると、
d
d
s
(
d
r
d
s
)
2
=
d
2
r
d
s
2
⋅
d
r
d
s
+
d
r
d
s
⋅
d
2
r
d
s
2
=
n
R
⋅
t
+
t
⋅
n
R
=
0
{\displaystyle {d \over {ds}}\left({d\mathbf {r} \over {ds}}\right)^{2}={d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}\cdot {d\mathbf {r} \over {ds}}+{d\mathbf {r} \over {ds}}\cdot {d^{2}\mathbf {r} \over {ds^{2}}}={\mathbf {n} \over R}\cdot \mathbf {t} +\mathbf {t} \cdot {\mathbf {n} \over R}=0}
となるためである（ベクトル同士の内積 がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。
ベクトル t と n の外積 、
t
×
n
=
b
{\displaystyle \mathbf {t} \times \mathbf {n} =\mathbf {b} }
で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面 に対する法線となっている。
^ 「曲率 」『百科事典マイペディア』。https://kotobank.jp/word/%E6%9B%B2%E7%8E%87 。コトバンク より2022年2月10日 閲覧 ^
小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房、1977年8月20日。ISBN 4785311193 。
