淡中・クライン双対性

淡中・クライン双対性（たんなか・クラインそうついせい、Tannaka–Krein_duality）の理論は数学において、コンパクトの相互作用に関するもの、位相群とその圏 (数学) の線形表現の相互作用に関するものである。

コンパクト群と離散可換位相群の間のポントリャーギン双対を、コンパクトだが非可換な群に自然に拡張したものである。

解説

この理論は淡中忠郎とマルク・クレインにちなんで命名された。レフ・ポントリャーギンが考えた可換群の場合とは対照的に、非可換コンパクト群の双対概念は群ではなく、Gの有限次元表現によって形成される、何らかの付加的な構造を持つ表現の圏Π(G)である。

淡中とクラインの双対性定理は、Π(G)の圏から群Gへの逆行列を記述し、その表現の圏から群を回復することを可能にする。さらに、彼らは、この方法で群から生じうるすべてのカテゴリーを完全に特徴づけている。後にアレクサンドル・グロタンディークは、同様のプロセスによって、淡中の双対性がTannakian formalismを介して代数群の場合に拡張できることを示した。一方、淡中とクラインの理論は数理物理学者によって発展・改良され続けた。淡中-クライン理論の一般化は量子群の表現を研究するための自然な枠組みを提供し、現在では量子超群、量子亜群、およびそれらの双対ホップ環状体に拡張されている。

淡中・クラインの双対性の考え方：群の表現のなす圏

局所コンパクトな可換群に対するポントリャーギンの双対性理論では、群Gの双対対象はその指標群 ${\hat {G}},$ であり、一次元の単位表現からなる。群Gが非可換であることを許すならば、指標群の最も直接的な類似は既約表現の同値類の集合である。Gのユニタリー表現の同値類の集合である。指標の積の類似は表現のテンソル積である。しかし、Gの既約表現は一般に群やモノイドを形成することができない。すべての有限次元表現の集合 $\Pi (G)$ を考え、それをモノイダル圏として扱う必要があることがわかった。

圏 $\Pi (G)$ の表現とは、恒等関手からそれ自身への自然変換たちのことである。言い換えると、任意の $T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)$ に対して、テンソル積との両立条件 $\varphi (T\otimes U)=\varphi (T)\otimes \varphi (U)$ と任意の表現の射 $f\colon T\to U$ ,すなわち, $f\circ \varphi (T)=\varphi (U)\circ f$ との両立条件を満たす非ゼロ関数 $\varphi$ のことである。

圏 $\Pi (G)$ の全表現の集まり $\Gamma (\Pi (G))$ は乗法 $\varphi (T)=\varphi (T)\psi (T)$ と各点収束位相で位相が入る。各点収束位相とはつまり $\{\varphi _{a}\}$ がある $\varphi$ に収束することと、任意の $T\in \operatorname {Ob} \Pi (G)$ に対して $\{\varphi _{a}(T)\}$ が $\varphi (T)$ に収束することが同値になるということである. こうして集合 $\Gamma (\Pi (G))$ がコンパクトな（位相的な）群になることが示される。

淡中とクラインの定理

淡中の定理 は、表現圏 Π(G) からコンパクト群 G を再構成する方法を提供する。

G をコンパクトなグループとし、F: Π(G) → Vect_C を忘却関手とする。G の有限次元複素数表現から複素数有限次元ベクトル空間へ。自然変換 τ: F → F にトポロジーを配置する。これは、それぞれが $\tau \mapsto \tau _{V}$ によって与えられる投影の End(F) → End(V) (自然変換 $\tau$ をとります) そのコンポーネント $\tau _{V}$ at $V\in \Pi (G)$ ) は連続関数です。自然変換が G の自明な表現上の恒等写像であり、 $\tau _{V\otimes W}=\tau _{V}\otimes \tau _{W}$ という意味でテンソル積を保存する場合、自然変換はテンソル保存であると言う。また、 ${\overline {\tau }}=\tau$ の場合、τ は自己共役であるとも言う。ここで、バーは複素共役を示す。この場合、F のすべてのテンソル保存自己共役自然変換の集合 ${\mathcal {T}}(G)$ は End(F) の閉じた部分集合になる。 G が (コンパクトな) グループである場合、実際には (コンパクトな) グループになる。 G のすべての要素 x は、各表現で x による乗算を介してテンソルを保存する自己共役の自然変換を生じさせるため、マップ $G\to {\mathcal {T}}(G)$ を持つ。淡中の定理は、この写像が同型写像であることを示す。

「クラインの定理」は、どのカテゴリーがコンパクトな群に対する双対目的として生じ得るか、という問いに答える。

Π を、テンソル積とインボリューションの演算を備えた有限次元ベクトル空間の圏とする。 Π がコンパクト群 G に対して双対目的体であるためには、次の条件が必要かつ十分である。

1. Π のすべてのオブジェクト A に対して

I\otimes A\approx A

というプロパティを持つオブジェクト

I

が存在する (これは必然的に一意になる) 同型写像に）。

2. Π のすべてのオブジェクト A は、最小オブジェクトの合計に分解できます。

3. A と B が 2 つの極小オブジェクトである場合、準同型写像の空間 Hom_Π(A, B) は次のいずれかになります。次元 (同型の場合)、またはゼロに等しい。

これらの条件がすべて満たされる場合、圏 Π = Π(G) になる。ここで、G は Π の表現のグループである。

一般化

1980年代にドリンフェルドと神保道夫の研究で量子群が発見され、淡中-クラインの双対性理論への関心が再び高まった。量子群の研究への主なアプローチの1つは，対称モノイダル圏Π(G)に似た圏を形成する有限次元表現を通して進められるが，より一般的な型のbraided monoidal categoryである．この場合にも淡中・クライン型の優れた双対理論が存在することが判明し，量子群とその表現の両方を研究できる自然な設定を提供することによって，量子群の理論において重要な役割を果たします。その後まもなく，有理共形場理論において，braided monoidal categoryのさまざまな例が発見された。淡中・クラインの哲学は、共形場理論から生じるbraided monoidal categoryも量子群から得られることを示唆し、KazhdanとLusztigは一連の論文で、実際にそうであることを証明した。一方、レシェティキンとトゥラーエフによって、ある種の量子群から生じるbraided monoidal categoryが、結び目の新しい不変量の構築に応用された。

ドプリチャー・ロバートの定理

doplicher-roberts theorem（セルジオ・ドプリッヒャーとジョン・E・ロバーツによる）は圏論の観点からRep(G)を特徴付けるものであり、ヒルベルト空間の圏の部分圏の一種である。^[1]

このようなヒルベルト空間上のコンパクト群ユニタリー表現の部分圏は次の通りである：

共役を持つストリクト対称モノイダルC*-圏
モノイダル単位の内同型のC*代数がスカラーだけを含むような部分対象と直和を持つ部分圏。

脚注

^ Doplicher, S.; Roberts, J. (1989). “A new duality theory for compact groups”. Inventiones Mathematicae 98 (1): 157–218. Bibcode: 1989InMat..98..157D. doi:10.1007/BF01388849.

参考文献

Durkdević, Mićok (December 1996). “Quantum principal bundles and Tannaka-Krein duality theory”. Reports on Mathematical Physics 38 (3): 313–324. arXiv:q-alg/9507018. Bibcode: 1996RpMP...38..313K. doi:10.1016/S0034-4877(97)84884-7.
Van Daele, Alfons (2000). “Quantum groups with invariant integrals”. Proceedings of the National Academy of Sciences 97 (2): 541–6. Bibcode: 2000PNAS...97..541V. doi:10.1073/pnas.97.2.541. JSTOR 121658. PMC 33963. PMID 10639115.
Joyal, A.; Street, R. (1991), “An introduction to Tannaka duality and quantum groups”, Category Theory, Lecture Notes in Mathematics, 1488, Springer, doi:10.1007/BFb0084235, ISBN 978-3-540-46435-8

[1] Doplicher, S.; Roberts, J. (1989). “A new duality theory for compact groups”. Inventiones Mathematicae 98 (1): 157–218. Bibcode: 1989InMat..98..157D. doi:10.1007/BF01388849.

[1]