濃度 (数学)

数学、とくに集合論において、濃度（のうど）あるいは基数（きすう）（英: cardinal number, cardinality, power）とは、集合の「元の個数」という概念を拡張したものである。有限集合については、濃度は「元の個数」の同意語に過ぎない。一般に集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。

定義

初等的定義

それぞれの集合 A には A の濃度（|A|、card(A)、#A などで表される）と呼ばれるものが一つ割り当てられており、次の性質をみたす:

1. 集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、またそのときに限り |A| = |B|。
2. A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。

ある集合の濃度であるものを基数と呼ぶ。有限集合の濃度（すなわち自然数）を有限基数、無限集合の濃度を無限基数と呼ぶ。

類別による定義

集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、B は A に対等（英: equipotent）であるといい、A ∼ B と書く。C を集合全体の集まりとする。C は集合ではないが、この節では特別に、C があたかも集合であるかのように考える。そうすれば、∼ は C における同値関係となる。集合全体の集まり C の対等関係 ∼ による類別を行ったときの、∼ による各同値類を、濃度あるいは基数という。集合 A の属する同値類を A の濃度といい、記号 card A あるいは |A | で表す。定義によって、A ∼ B と card A = card B とは論理的に同等である。

A を n （≧1） 個の元からなる有限集合とすれば、A の濃度は「n 個の元からなる集合」全体からなる集合に等しい。そこで、 n 個の元からなる有限集合の濃度を表す標識として、自然数 n を用いる。なお、空集合の濃度は 0 で表す。たとえば、

• $\operatorname {card} \varnothing =0$ 。
• $\operatorname {card} \{1\}=\operatorname {card} \{2\}=\operatorname {card} \{3\}=1$ 。
• $\operatorname {card} \{4,5\}=\operatorname {card} \{6,7\}=\operatorname {card} \{8,9\}=2$ 。
• $\operatorname {card} \{10,11,12\}=\operatorname {card} \{13,14,15\}=\operatorname {card} \{16,17,18\}=3$ 。

前述のとおり、集合全体の集まり C は集合ではない。したがって厳密には、C における同値関係は定義できないし、C の ∼ による類別を行うこともできないので、この定義は不完全といえる。

厳密な定義

濃度 (数学)#初等的定義の定義は濃度を集合論的対象として捉えておらず、その意味で厳密ではない。 正式には、A の濃度とは、A との間に全単射が存在する順序数の中で最小のものであると定義される。実際、このように定義すれば上の性質をみたすことが示される。この定義では全ての集合が濃度を持つことを言うために選択公理が必要である。選択公理を仮定すればかなる集合X は整列可能であることから、ある順序数αに対して |X| = α なるαが存在する。 選択公理を仮定せず、正則性公理を使って濃度を定義する方法も知られている。それは、集合 A との間に全単射が存在するような集合で階数が最小のものをすべて集めた集合を A の濃度と定義する方法であり、これは発見者の名から「スコットのトリック」と呼ばれている。このように集合の濃度を定義する方法は一つではないが、必要なのは濃度が上の性質 1. と 2. をみたすということであって、それが具体的にどのように定義されたかは通常の数学を展開する上ではあまり重要視されない。そのため、数学基礎論以外の多くの文献では「A から B への全単射が存在するとき、A と B は濃度が等しいと言う」のように集合の間の関係だけを定義し、濃度（基数）そのものについては具体的に定義せず扱っている。

無限集合の濃度

有限集合の濃度を有限の濃度といい、無限集合の濃度を無限の濃度という。

可算集合

詳細は「可算集合」を参照

自然数全体の集合の濃度を可算の濃度あるいは可付番の濃度という。通常、$\aleph _{0}$（アレフ・ゼロ）あるいは ${\mathfrak {a}}$ と表記される。$\aleph$はヘブライ文字のアレフである。濃度が可算の濃度に等しいような集合を可算集合あるいは可付番集合（英: countable set, denumerable set）という。たとえば、整数全体の集合、有理数全体の集合はいずれも可算集合である。濃度が可算の濃度以下であるような集合を高々可算な集合という。

可算濃度には以下のような性質がある。

• $\aleph _{0}$ は極小な無限濃度である。すなわち、$\kappa$ が $\aleph _{0}$ より小さい濃度ならば、$\kappa$ は有限濃度（すなわち自然数）である。
• 選択公理を仮定すると、$\aleph _{0}$ は最小な無限濃度である。すなわち、全ての無限濃度 $\kappa$ に対して、$\aleph _{0}\leq \kappa$ が成り立つ。

非可算集合

詳細は「連続体濃度」および「非可算集合」を参照

連続体濃度とは実数全体の集合の濃度である。$\aleph$ あるいは ${\mathfrak {c}}$ と表記される。カントールの対角線論法によって $\aleph _{0}<\aleph$ が成り立つことが証明される。

濃度の大小関係

濃度の間に大小関係を定義する。濃度 κ, λ に対して、 |A| = κ，|B| = λ である集合 A, B を取ったとする。A から B への単射が存在するとき κ ≤ λ と定義し、κ ≤ λ かつ κ ≠ λ のとき κ < λ と定義する。これは有限濃度の範囲では通常の大小関係と一致する。任意の濃度 κ, λ, μ に対して、κ ≤ κ と、 κ ≤ λ かつ λ ≤ μ ならば κ ≤ μ が成り立ち、また、次に述べるシュレーダー=ベルンシュタインの定理により、κ ≤ λ かつ λ ≤ κ ならば κ = λ が成り立つ。さらに、選択公理を仮定すれば、任意の濃度 κ , λ に対して κ ≤ λ または λ ≤ κ が成り立つ。

ベルンシュタインの定理

詳細は「ベルンシュタインの定理」を参照

集合 A から集合 B への単射が存在し、B から A への単射も存在すれば、A から B への全単射が存在する。この主張は直観的には当たり前に感じられるかもしれないが、証明をするとなるとそれほど簡単ではない。

濃度の演算

濃度の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限濃度（自然数）の間の演算は通常のそれと一致する。

和

κ, λ を濃度とする。集合 A, B を |A| = κ，|B| = λ，A ∩ B = ∅ をみたすように取ったとき、A ∪ B の濃度は A, B の特定の取り方によらず一定である。そこで |A ∪ B| を κ と λ の和といい、これを κ + λ で表す。

濃度の和について次が成り立つ：

1. κ , λ が有限濃度ならば、和 κ + λ は自然数の間の通常の和と一致する。
2. κ + λ = λ + κ.
3. (κ + λ) + μ = κ + (λ + μ).
4. κ + 0 = 0 + κ = κ.
5. κ ≤ λ ⇒ κ + μ ≤ λ + μ.

積

κ, λ を濃度とする。 集合 A, B を |A| = κ ，|B| = λ をみたすように取ったとき、A × B の濃度は A, B の特定の取り方によらず一定である。そこで |A × B| を κ と λ の積といい、これを κ ⋅ λ で表す。

濃度の積について次が成り立つ：

1. κ, λ が有限濃度ならば、和 κ ⋅ λ は自然数の間の通常の積と一致する。
2. κ ⋅ λ = λ ⋅ κ.
3. (κ ⋅ λ) ⋅ μ = κ ⋅ (λ ⋅ μ).
4. κ ⋅ (λ + μ) = (κ ⋅ λ) + (κ ⋅ μ).
5. κ ⋅ 1 = 1 ⋅ κ = κ.
6. κ ⋅ 0 = 0 ⋅ κ = 0.
7. κ ≤ λ ⇒ κ ⋅ μ ≤ λ ⋅ μ.

冪

m，n をそれぞれ 1 以上の濃度とする。そのとき、m = card A, n = card B であるような集合 A, B をとり、A の上の B の配置集合 F(A，B) の濃度を、冪 n^m と定義する。 1 以上の濃度 m，n に対して、集合 A，B のとり方によらず、冪 n^m は一意的に定まる。m，n が有限の濃度である場合には、この冪は通常の意味での自然数の冪と一致する。

1 以上の任意の濃度 m，n，p に対して以下のことが成り立つ。

• $n^{1}=n.$
• $1^{m}=1.$
• $n\leqq n',\ m\leqq m'\ \Longrightarrow n^{m}\leqq n'^{\ m'}.$
• $p^{m}p^{n}=p^{m+n}.$
• $(mn)^{p}=m^{p}n^{p}.$
• $(p^{m})^{n}=p^{mn}.$

任意の濃度 κ に対して以下のことが成り立つ（配置集合#例）。

• κ⁰ = 1.
• κ ≠ 0 ⇒ 0^κ = 0.

濃度と順序数

有限集合に対しては濃度と順序数はどちらも自然数であり要素の個数に一致する。例えば、1, 2, 3, …, n と有限個の数を並べた場合、濃度は n、順序数は n である。これを並べ替えて、2, 3, …, n, 1 とした場合も濃度と順序数は変わらない。しかし無限集合ではそうはならない。例えば、すべての自然数を 1, 2, 3, … と並べた場合の濃度は $\aleph _{0}$、順序数は ω である。これを並べ替えて 2, 3, …, 1 とした場合、濃度は変わらないが、順序数は ω + 1 になり、ω より大きくなる。

後続基数と極限基数

全ての基数 κ に対して、それより大きい基数 λ でその二つの基数の間には他の基数が存在しないようなものが存在する。つまり、λ は κ の次に大きな基数である。このような基数を κ の後続基数 (successor cardinal) という。ある基数の後続基数である基数のことを単に後続基数といい、どの基数の後続基数にもならないような基数を極限基数 (limit cardinal) という。

後続基数は常に正則基数になる一方で、正則な極限基数（弱到達不能基数）の存在は、標準的な集合論の公理系であるZFCからその存在の無矛盾性が証明できないなど、後続基数と極限基数の間には大きな性質の違いが見られる。

関連項目

• 集合
• 集合論
• 冪集合
• 連続体仮説
• 選択公理
• 連続体濃度

参考文献

• 松坂, 和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 4-00-005424-4。