一般相対性原理

一般相対性原理（いっぱんそうたいせいげんり、英: general principle of relativity）とは、一般相対性理論においてアルベルト・アインシュタインが仮設として導入した原理の一つで「物理学の法則は、任意の仕方で運動している座標系に関していつも成立する」という命題からなる。慣性系間の座標変換に関する命題である特殊相対性原理を、一般相対性理論の対象である重力場を含む加速度系についても適用できるように拡張したものとして提案された。

なお、一般相対性原理をより数学的に具体的に拡張した主張として一般共変性原理がある。これは、「自然の一般法則は、すべての座標系に対して成り立つ、すなわち任意の座標変換に対して一般共変な方程式で表される」あるいは「一般座標変換によって物理法則は不変である」という命題からなり、数学的には、自然の法則がテンソルのすべての成分がゼロになるということで定式化されるべきであることを主張する。

方程式の一般共変性

具体的に考えるため、仮に座標系 $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ における法則

$X(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})+\alpha Y(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})-A(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})={\mathbf {0}}$

について考える。この法則が一般相対性原理（一般共変性原理）を満たすとは次のことを意味する。この法則の座標系 $x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3}$ における式は、座標系 $x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}$ における式を座標変換することで得られる。ゼロに等しい上記法則は座標変換しても全体としてはゼロであることは変わらない。座標変換は、各点の座標近傍（多様体#局所座標系）においては線型変換となるので（逆に言えば線型変換となる程度の座標近傍を考えるのである）

${\frac {\partial x'^{a}}{\partial x^{j}}}\cdots {\frac {\partial x'^{c}}{\partial x^{l}}}X(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})+\alpha {\frac {\partial x'^{d}}{\partial x^{m}}}\cdots {\frac {\partial x'^{f}}{\partial x^{o}}}Y(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})-{\frac {\partial x'^{g}}{\partial x^{p}}}\cdots {\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{r}}}A(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})={\mathbf {0}}$

となり各項は式の形状が変わり得る。ここで、各項 $X,Y,A$ が座標変換について共変的（covariant）であれば（数学的にはテンソルと呼ばれるものはそのような性質を持つ）、左辺の各項の変換係数が一致するため、上記の式は以下のように変形できる。

${\frac {\partial x'^{a}}{\partial x^{j}}}\cdots {\frac {\partial x'^{c}}{\partial x^{l}}}\left\{X(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})+\alpha Y(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})-A(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})\right\}={\mathbf {0}}$

座標変換により現れた係数はゼロでないため、上記の関係を満たすには括弧内がゼロでなければならず、結局、座標系 $x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3}$ において法則は、

$X(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})+\alpha Y(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})-A(x'^{0},x'^{1},x'^{2},x'^{3})={\mathbf {0}}$

とならなくてはならない。このテンソルの各項はもとの座標系の項とイコールではないが、式全体の関係は変わっていない。一般相対性原理は、テンソルで記述された物理法則は座標変換に関して上記のような性質を持つと仮定するものである。

関連項目

• 一般相対性理論
• 一般共変性原理
• 相対性原理
• 一般座標変換不変性

参考文献

• リーマン、リッチ、レビ＝チビタ、アインシュタイン、マイヤー 著、矢野健太郎（訳） 編『リーマン幾何とその応用』共立出版、1971年。