「ABC予想」の版間の差分
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{{出典の明記|date=2022年8月}} |
{{出典の明記|date=2022年8月}} |
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{{Infobox mathematical statement |
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{{告知|議論|私たちがウィキペディアで提供するのは、「[[信頼できる情報源]](ソース)を参照することにより『検証できる』内容だけ」です|section=ウィキペディアは真実や事実を掲載する場所ではありません|date=2022年8月}} |
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| name = ABC予想 |
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{{unsolved-nolink|| |
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| image = |
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{{center|{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''c''}}}} |
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| caption = |
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を満たす、互いに素な自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対し、積 {{mvar|abc}} の互いに異なる素因数の積を {{mvar|d}} と表す。このとき、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、 |
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| field = [[数論]] |
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{{center|{{math|''c'' > ''d''{{sup|1+''ε''}}}}}} |
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| conjectured by = [[ジョゼフ・オステルレ]] |
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を満たす組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} は高々有限個しか存在しないであろうか? |
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[[デイヴィッド・マッサー]] |
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| conjecture date = [[1985年]] |
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| first proof by = |
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| first proof date = |
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| open problem = |
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| equivalent to = [[スピロ予想]] |
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| generalizations = |
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| consequences = [[ビール予想]] |
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[[ファルティングスの定理]] |
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[[フェルマーの最終定理]] |
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[[フェルマー=カタラン予想]] |
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[[トゥエ・ジーゲル・ロスの定理]] |
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}} |
}} |
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'''ABC予想''' |
'''ABC予想'''(エービーシーよそう、{{lang-en|''abc'' conjecture}})あるいは'''オステルレ=マッサー予想'''({{lang-en|Oesterlé–Masser conjecture}})<ref>{{Cite web|和書|url=https://sputniknews.jp/20171221/4404570.html|title=望月教授による証明が数学界を二分|accessdate=2023-06-11|publisher=スプートニク}}</ref><ref>{{Cite web|和書|url=https://sun.ac.jp/prof/hnagano/h30presen2.pdf|title=平成 30 年度公開講座 数学の未解決問題で楽しみましょう|accessdate=2023-06-11|publisher=長崎県立大学永野哲也教授}}</ref>は、[[1985年]]に[[ジョゼフ・オステルレ]]と[[デイヴィッド・マッサー]]により提起された[[数論]]の[[予想 (数学)|予想]]である。類似するものに[[多項式]]についての[[メーソン・ストーサーズの定理]]がある。 |
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ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから、非常に有名になった。数論における数多の有名な予想や定理がABC予想から直ちに導かれる。 |
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これは[[多項式]]に関する[[メーソン・ストーサーズの定理]]の[[整数]]における類似であり、[[互いに素 (整数論)|互いに素]]でありかつ {{math|1=''a'' + ''b'' = ''c''}} を満たすような3つの[[自然数]](この予想に呼び方を合わせると){{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} の和と積の関係について述べている<ref>{{Cite web |url=https://kotobank.jp/word/ABC%E4%BA%88%E6%83%B3 |title=知恵蔵2013『ABC予想』|website=kotobank.jp |publisher=コトバンク |date=2020-04-03 |accessdate=2020-04-03}}</ref><ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html |title="abc Conjecture".|website=mathworld.wolfram.com |publisher=MathWorld |date=2020-04-03 |accessdate=2020-04-03}}</ref>。 |
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{{仮リンク|ドリアン・モリス・ゴールドフェルド|en|Dorian M. Goldfeld}}は、ABC予想を「[[ディオファントス方程式|ディオファントス解析]]で最も重要な[[数学上の未解決問題|未解決問題]]」であると述べている<ref>{{harvtxt|Goldfeld|1996}}</ref>。 |
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ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理がABC予想から直ちに導かれる。 |
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== 予想 == |
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{{harvtxt|Goldfeld|1996}} は、ABC予想を「[[ディオファントス方程式|ディオファントス解析]]で最も重要な未解決問題」であるとしている。 |
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一般に「ABC予想」と呼ばれている未解決問題には、 |
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# 不等式 {{math|''c'' > (rad(''abc'')){{sup|1 + ''ε''}}}} を満たす abc-triple が無限組存在するような正の実数 {{math|''ε'' > 0}} は存在しない。 |
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== 定式化 == |
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# 不等式 {{math|''c'' ≧ (rad(''abc'')){{sup|2}}}} を満たす abc-triple は存在しない。 |
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自然数 {{mvar|n}} に対して、{{mvar|n}} の互いに異なる素因数の積を {{mvar|n}} の'''根基''' (radical) と呼び、{{math|rad ''n''}} と書く。以下に例を挙げる。 |
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*{{mvar|p}} が[[素数]]ならば、{{math|rad(''p'') {{=}} ''p''}}. |
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*{{math|rad(8) {{=}} rad(2{{sup|3}}) {{=}} 2}}. |
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*{{math|rad(45) {{=}} rad(3{{sup|2}} ⋅ 5) {{=}} 3 ⋅ 5 {{=}} 15}}. |
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[[自然数]]の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} で、{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''c''}}, {{math|''a'' < ''b''}} で、{{mvar|a}} と {{mvar|b}} は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であるものを abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は {{math|''c'' < rad(''abc'')}} が成り立つが、ABC予想が主張するのはこれが成り立たない例(例えば、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 8}} のとき {{math|''c'' {{=}} 9}} であり、{{math|rad(''abc'') {{=}} 6}} である)の方である。ただし、{{math|''c'' > rad(''abc'')}} が成り立つ例も'''無限に存在する'''{{Efn|name="壱"}}{{Efn|name="弐"}}ため、{{math|rad(''abc'')}} を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわち、ABC予想は任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、次を満たすような自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} は[[高々 (数学)|高々]]有限個しか存在しないであろうと述べている: |
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:<math>c>\operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}.</math> |
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これと同値な他の定式化(Oesterlé–Masser の ABC予想)として次のものがある。すなわち、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対してある {{math|''K''(''ε'') > 0}} が存在し、全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} について次が成り立つという: |
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:<math>c<K(\varepsilon ) \cdot \operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}</math> |
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:({{math|''K''(''ε'')}} を {{mvar|ε}} に依らずに取ることはできない。) |
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三つ目の定式化は「'''質'''」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、質 {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'')}} を次のように定義する: |
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:<math>q(a,b,c):=\frac{\log c}{\log ( \operatorname{rad} (abc))}.</math> |
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このときABC予想は、任意の {{math|''ε'' > 0}} に対して、abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} であって {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1 + ''ε''}} を満たすものは高々有限個しか存在しないということを主張している。 |
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という2種類の[[命題]]が存在するが、これら2つの間に論理的な強弱関係があるわけではない。すなわち、互いに主張の一部が弱められ、一部が強められている。ただし、[[フェルマーの最終定理]]の証明に使うことができるのは、2のみである。 |
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現在、{{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1.6}} を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。{{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'')}} を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、{{math|''c'' < rad(''abc''){{sup|2}} }}を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない{{Efn|name="参"}}。 |
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以降、この節では、1のABC予想について詳しく解説する。 |
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== 証明の提案 == |
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1985年の予想の提起から、数々の数学者によりABC予想の証明が提案されてきた<ref>NHKスペシャル 数学者は宇宙をつなげるか?abc予想証明をめぐる数奇な物語(前編)[https://www.nhk.jp/p/special/ts/2NY2QQLPM3/blog/bl/pneAjJR3gn/bp/pzwyDRbMwp/]</ref>。しかし、現在、数学コミュニティの同意が得られたものはない<ref>NHKスペシャル 数学者は宇宙をつなげるか?abc予想証明をめぐる数奇な物語(後編)[https://www.nhk.jp/p/special/ts/2NY2QQLPM3/blog/bl/pneAjJR3gn/bp/pBg9n63J4m/]</ref><ref>WHAT IS THE POINT OF COMPUTERS? A QUESTION FOR |
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PURE MATHEMATICIANS,KEVIN BUZZARD[https://arxiv.org/pdf/2112.11598.pdf]</ref>。 |
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=== 望月新一による提案 === |
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[[望月新一]]{{Efn|name="所属"|[[京都大学数理解析研究所]]教授}}は、自身の考案した[[宇宙際タイヒミュラー理論]]によるディオファントス的不等式(論文IUTT-IVの系2.3)の証明から、[[スピロ予想]]、[[ヴォイタ予想]]、ABC予想を証明したと主張している{{Efn|name="PRIMS"|2012年8月30日、自身が所属する京都大学数理解析研究所編集の専門誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』(以下『PRIMS』)に投稿し、初稿が同誌の[[プレプリント]]で公開された{{R|Preprint|Mochizuki_a|Mochizuki_b|Mochizuki_c|Mochizuki_d}}。}}。(なお、宇宙際タイヒミュラー理論のサーベイ論文については[[宇宙際タイヒミュラー理論#サーベイ|こちら]]を参照。) |
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上記の証明に対し、[[ペーター・ショルツェ]]と[[ジェイコブ・スティックス]]が、論文IUTT-IIIの系3.12<ref>Mochizuki's corollary 3.12 in nLab[https://ncatlab.org/nlab/show/Mochizuki%27s+corollary+3.12]</ref>の証明の反例となるレポート{{R|Scholze_Stix}}にて「提案された〔望月のプレプリントの〕証明には深刻な問題があり、小さな修正で証明戦略を救うことはできず、証明になっていない」と指摘した(2018年5月公開、2018年9月一部修正)。望月は、反例において宇宙際タイヒミュラー理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化が悉く誤りであると指摘するレポート{{R|Mochizuki_x|Mochizuki_y}}を公表し反論した(2018年9月発表、2021年3月改訂)。(なお、指摘事項の詳細については[[宇宙際タイヒミュラー理論#指摘事項|こちら]]を参照。) |
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2以上の[[自然数]] {{mvar|n}} に対して、{{mvar|n}} の[[素因数]]のうち相異なるものの[[積]] {{math|rad (''n'')}} (すなわち {{mvar|n}} を[[素因数分解]]したときに現れる各[[素数]]の[[冪乗|指数]]をすべて[[1]]に置き換えて乗算した数。 {{mvar|n}} の'''根基'''({{lang-en-short|radical}})と呼ばれる。)を与える関数 {{math|rad}} のことを'''根基関数'''({{lang-en-short|radical function}})という。以下にいくつか例を挙げる。 |
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望月の証明論文は、2020年2月査読を通過し{{Efn|name="記者会見"|2020年4月に[[京都大学数理解析研究所]](RIMS)の雑誌『PRIMS』の共同編集委員長[[柏原正樹]]、[[玉川安騎男]]より発表された。}}、翌年、2021年3月4日、雑誌{{Efn|name="特別号"|『PRIMS』の特別号電子版}}に掲載された{{R|Mochizuki_z}}。(なお、記者会見および論文掲載時のコメントについては[[宇宙際タイヒミュラー理論#記者会見|こちら]]を参照。) |
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* {{mvar|p}} が素数ならば、{{math|rad(''p'') {{=}} ''p''}} |
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上記論文に対し、[[ペーター・ショルツェ]]は書評{{Efn|name="zbMATH"|2021年7月31日、[[ヨーロッパ数学会]]が運営する[[zbMATH]]に掲載}}にて「このシリーズの最初の3つのパートにおいて、読者は残念ながら実質的な数学的内容をほんの少ししか見出さないだろう。第2部と第3部では、肝心の系3.12に、数行以上の証明を見出さないだろう」{{R|Scholze}}と否定的にコメントした。一方、{{仮リンク|モハメド・サイディ (数学者)|label=モハメド・サイディ|en|Mohamed Saidi (Mathematician)}}{{Efn|name="サイディ氏所属"|[[エクセター大学]]教授(京都大学数理解析研究所客員教授)}}<ref>{{Cite web |url = http://emps.exeter.ac.uk/mathematics/staff/ms220|title = Prof Mohamed Saidi|website = emps.exeter.ac.uk|publisher = University of Exeter|date = |accessdate = 2022-05-08}}</ref>は書評{{Efn|name="MR"|2022年4月、[[アメリカ数学会]]が運営するMath Reviews誌に掲載}}で、宇宙際タイヒミュラー理論の系3.12に関連する論文IUTT-IIIの定理3.11を肯定するコメントを行った{{R|Saidi}}。 |
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* {{math|rad(8) {{=}} rad(2{{sup|3}}) {{=}} 2}} |
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* {{math|rad(9405) {{=}} rad(3{{sup|2}} ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 19) {{=}} 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 19 {{=}} 3135}} |
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* {{math|rad(84998144) {{=}} rad(2{{sup|11}} ⋅ 7{{sup|3}} ⋅ 11{{sup|2}}) {{=}} 2 ⋅ 7 ⋅ 11 {{=}} 154}} |
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{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''c''}} であり、かつ {{mvar|a}} と {{mvar|b}} が'''[[互いに素 (整数論)|互いに素]]'''であるような自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は {{math|''c'' < rad(''abc'')}} が成り立つが、ABC予想が言及しているのはこれが成り立たない abc-triple(例えば、{{math|''a'' {{=}} 1, ''b'' {{=}} 8, ''c'' {{=}} 9}} のとき、{{math|rad(''abc'') {{=}} 6}} である)のほうである。 |
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2022年7月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が雑誌{{Efn|name="KodaiMath"|[[東京工業大学]]が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journal}}に掲載された{{R|MFJMP}}(受理は2021年11月)。この論文で、楕円曲線の 6 等分点を用いて、ディオファントス的不等式中の定数を数値を明示した形(非明示的な「定数」が現れない)に修正した。2012年10月の、ヴェッセリン・ディミトロフ<ref>{{Cite web |url=https://www.math.toronto.edu/cms/people/faculty/dimitrov/|title=Vesselin Dimitrov|website=math.toronto.edu|publisher=[[トロント大学]]数学科|accessdate=2021-06-03}}</ref>と[[アクシェイ・ヴェンカテシュ]]による指摘<ref>この議論の発端は、[[MathOverflow]]の記事 [http://mathoverflow.net/questions/106560/philosophy-behind-mochizukis-work-on-the-abc-conjecture Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture] である</ref>により、望月の論文で証明される命題は「弱いABC予想」となっていたが、今回の結果により「強いABC予想」および「フェルマーの最終定理」の別証明を得たとされる。 |
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ただし、{{math|''c'' > rad(''abc'')}} が成り立つ abc-triple も'''無限に存在する'''{{Efn|name="壱"}}{{Efn|name="弐"}}ため、{{math|rad(''abc'')}} を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわちABC予想は、次の[[不等式]]を満たすような自然数の組 {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} は、任意の正の実数 {{math|''ε'' > 0}} に対して[[高々 (数学)|高々]]有限個しか存在しないであろうと予想している: |
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== 得られる結果の例 == |
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: <math>c>(\operatorname{rad} (abc))^{1+\varepsilon}.</math> |
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ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。「有限個に限定される」ことが結論である命題(予想)の証明に役に立つ。 |
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ABC予想の定式化には、これ以外にもいくつか[[同値]]な表現が存在する。 |
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; [[トゥエ・ジーゲル・ロスの定理|トゥエ=ジーゲル=ロスの定理]] |
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: [[代数的数]]のディオファントス近似に関する定理。 |
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; [[フェルマーの最終定理]] |
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: ただし指数が十分大きい場合。どの程度大きければよいかは {{math|''K''(''ε'')}} に依存する。定理自体は、ABC予想とは独立に[[アンドリュー・ワイルズ|ワイルズ]]が証明した。ある {{math|''K''(''ε'')}} が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。{{math|1=''ε'' = 1}} のとき {{math|1=''K''(1) = 1}} という予想もあり、この仮定の下で、指数が {{math|6}} 以上の場合は直ちに証明される {{harv|Granville|Tucker|2002}}{{Efn|name="フェルマー"}}。 |
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* 任意の abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} に対して、以下の命題が成り立つ: |
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; [[モーデル予想]]([[ゲルト・ファルティングス|ファルティングス]]の定理): {{harv|Elkies|1991}} |
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: <math>c<K(\varepsilon ) \cdot (\operatorname{rad} (abc))^{1+\varepsilon}</math> |
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: を満たす正の実数 {{math|''K''(''ε'') > 0}} が、任意の正の実数 {{math|''ε'' > 0}} に対して存在する( {{math|''K''(''ε'')}} を {{mvar|ε}} に依らずに取ることは不可能)。 |
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* '''質''' {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'')}} を次のように定義する ( q は quality の頭文字): |
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: <math>q(a,b,c):=\frac{\log c}{\log ( \operatorname{rad} (abc))}.</math> |
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: このとき、{{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1 + ''ε''}} を満たす abc-triple は、任意の正の実数 {{math|''ε'' > 0}} に対して高々有限組しか存在しない。 |
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現在、{{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1.6}} を満たす abc-triple は後述のコンピューティングによる成果の通り3組しか知られていない。 |
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; {{仮リンク|エルデシュ=ウッズ予想|en|Erdős–Woods number}} |
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: ただし有限個の反例を除く {{harv|Langevin|1993}}。 |
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== 証明 == |
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; 非{{仮リンク|ヴィーフェリッヒ素数|en|Wieferich prime}}が無限個存在すること: {{harv|Silverman|1988}}。 |
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1985年の予想の提起から、数々の[[数学者]]によりABC予想の[[証明 (数学)|証明]]が提案されてきた。しかし、2024年現在、数学コミュニティの同意が得られたものはない<ref>[https://www.nhk.jp/p/special/ts/2NY2QQLPM3/episode/te/PMMKK4872L/ NHKスペシャル 数学者は宇宙をつなげるか? abc予想証明をめぐる数奇な物語]</ref><ref>{{PDF|[https://arxiv.org/pdf/2112.11598.pdf WHAT IS THE POINT OF COMPUTERS? A QUESTION FOR PURE MATHEMATICIANS, KEVIN BUZZARD]}}, P23</ref>。 |
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=== 望月新一による証明 === |
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; 弱い形の{{仮リンク|マーシャル・ホール予想|en|Marshall Hall's conjecture}}:平方数と立方数の間隔に関する予想 {{harv|Nitaj|1996}}。 |
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{{see also|宇宙際タイヒミュラー理論}} |
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[[京都大学数理解析研究所]]教授の[[望月新一]]は、2012年8月30日、[[宇宙際タイヒミュラー理論]]と呼ばれる理論についての[[論文]]を、自身が所属する京都大学数理解析研究所編集の[[科学雑誌 (学術)|専門誌]]『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』(以下『PRIMS』)に投稿し、初稿が同誌の[[プレプリント]]で公開された{{R|Preprint|Mochizuki_a|Mochizuki_b|Mochizuki_c|Mochizuki_d}}。望月は、自身が考案した同理論によって、[[スピロ予想]]、[[ヴォイタ予想]]およびABC予想の証明に成功したと主張している。 |
|||
上記の証明に対し、[[ドイツ]]の数学者[[ペーター・ショルツェ]]、[[ジェイコブ・スティックス]]は、論文IUTT-IIIの[[系 (数学)|系]]3.12<ref>[https://ncatlab.org/nlab/show/Mochizuki%27s+corollary+3.12 Mochizuki's corollary 3.12 in nLab]</ref>の証明の[[反例]]となるレポート{{R|Scholze_Stix}}にて「提案された〔望月のプレプリントの〕証明には深刻な問題があり、小さな修正で証明戦略を救うことはできず、証明になっていない。」と指摘した(2018年5月公開、2018年9月一部修正)。この指摘に対して望月は、反例において宇宙際タイヒミュラー理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化がことごとく誤りであると主張するレポート{{R|Mochizuki_x|Mochizuki_y}}を公表し反論した(2018年9月発表、2021年3月改訂)。 |
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; [[フェルマー=カタラン予想]]:フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う {{harv|Pomerance|2008}}。 |
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望月の証明論文は2020年2月に[[査読]]を通過し{{Efn|name="記者会見"|2020年4月に京都大学数理解析研究所の雑誌『PRIMS』の共同編集委員長[[柏原正樹]]、[[玉川安騎男]]より発表された。}}、2021年3月4日、雑誌『PRIMS』の特別号電子版に掲載された{{R|Mochizuki_z}}。 |
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; [[ルジャンドル記号]]を用いて記述した[[ディリクレのL関数]] ''L''(''s'', (-''d''/.)) が{{仮リンク|ジーゲル零点|en|Siegel zero}}を持たないこと |
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: 正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、[[代数体]]上の一様なABC予想を用いる。{{harv|Granville|Stark|2000}}。 |
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上記論文に対し、ショルツェは2021年7月31日に[[zbMATH]]([[ヨーロッパ数学会]])に掲載された書評にて「このシリーズの最初の3つのパートにおいて、読者は残念ながら実質的な数学的内容をほんの少ししか見出さないだろう。第2部と第3部では、肝心の系3.12に、数行以上の証明を見出さないだろう。」{{R|Scholze}}と否定的にコメントした。一方、{{仮リンク|モハメド・サイディ (数学者)|label=モハメド・サイディ|en|Mohamed Saidi (Mathematician)}}{{Efn|name="サイディ氏所属"|[[エクセター大学]]教授、京都大学数理解析研究所客員教授<ref>{{Cite web |url = http://emps.exeter.ac.uk/mathematics/staff/ms220|title = Prof Mohamed Saidi|website = emps.exeter.ac.uk|publisher = University of Exeter|date = |accessdate = 2022-05-08}}</ref>}}は2022年4月にMath Reviews誌([[アメリカ数学会]])に掲載された書評で、宇宙際タイヒミュラー理論の系3.12に関連する論文IUTT-IIIの定理3.11を肯定するコメントを行った{{R|Saidi}}。 |
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; Schinzel–Tijdeman theorem |
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: {{mvar|P}} を少なくとも3つ以上の単根を持つ[[多項式]]とすると、{{math2|''P''(1),''P''(2),''P''(3), …}} の中には高々有限個しか[[累乗数]]が存在しない、という定理 (1976)<ref name="Ref_a">{{PDFlink|[http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf The ABC-conjecture (Frits Beukers, 9 september 2005)]}}</ref>。 |
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2022年7月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、[[イヴァン・フェセンコ]]、望月らの査読論文が『Kodai Mathematical Journal』([[東京工業大学]])に掲載された{{R|MFJMP}}(受理は2021年11月)。この論文は、[[楕円曲線]]の6等分点を用いて、ディオファントス的不等式中の定数の数値を明示した形(非明示的な「定数」が現れない)に修正したものである。2012年10月のヴェッセリン・ディミトロフ{{Efn|[[トロント大学]]数学科[[アシスタント・プロフェッサー|助教]]<ref>{{Cite web|和書|url=https://www.math.toronto.edu/cms/people/faculty/dimitrov/|title=Vesselin Dimitrov|website=math.toronto.edu|publisher=トロント大学数学科|date=|accessdate=2024-09-15|archiveurl=https://web.archive.org/web/20220528051816/https://www.math.toronto.edu/cms/people/faculty/dimitrov/|archivedate=2022-05-28}}</ref>}}と[[アクシェイ・ヴェンカテシュ]]による指摘{{Efn|この議論の発端は、[[MathOverflow]]の記事 [http://mathoverflow.net/questions/106560/philosophy-behind-mochizukis-work-on-the-abc-conjecture Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture] である。}}により、望月の論文で証明される命題は「弱いABC予想」となっていたが、今回の結果により「強いABC予想」およびフェルマーの最終定理の別証明を得たとしている。 |
|||
; {{仮リンク|ティーデマンの定理|en|Tijdeman's theorem}}の一般化 |
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: {{math|1=''y{{sup|m}}'' = ''x{{sup|n}}'' + ''k''}} が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は {{math|1=''k'' = 1}} の場合を述べている。また、{{math|1=''Ay{{sup|m}}'' = ''Bx{{sup|n}}'' + ''k''}} が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。 |
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== 得られる結果の例 == |
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; {{仮リンク|グランヴィル=ランジュバン予想|en|Granville–Langevin conjecture}}<!-- リダイレクト先の「[[:en:Abc conjecture]]」は、[[:ja:ABC予想]] とリンク -->と同値。 |
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ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。 |
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; 修正した[[スピロ予想]]。 |
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: これは境界として <math>\scriptstyle \operatorname{rad}(abc)^{\frac{6}{5} +\varepsilon}</math> を与える {{harv|Oesterlé|1988}}。 |
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ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。具体的には、「有限個に限定される」ことが結論である命題(予想)を証明するのに役立つことが多い。 |
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; 任意の整数''A'' について、{{math|1=''n''! + ''A'' = ''k''{{sup|2}}}} が有限個の解しか持たないこと(一般化された[[ブロカールの問題]]) |
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: {{harv|Dąbrowski|1996}}と同値。 |
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; [[トゥエ・ジーゲル・ロスの定理|トゥエ=ジーゲル=ロスの定理]] |
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: [[代数的数]]の[[ディオファントス近似]]に関する定理。 |
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; [[フェルマーの最終定理]] |
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: ただし指数が {{math|6}} 以上の場合。この定理自体は、ABC予想とは独立に[[アンドリュー・ワイルズ]]が既に1995年に証明した。有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である{{harv|Granville|Tucker|2002}}{{Efn|name="フェルマー"}}。 |
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; [[モーデル予想]]([[ゲルト・ファルティングス|ファルティングス]]の定理) |
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: {{harv|Elkies|1991}} |
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; {{仮リンク|エルデシュ=ウッズ予想|en|Erdős–Woods number}} |
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: ただし有限個の反例を除く {{harv|Langevin|1993}}。 |
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; 非{{仮リンク|ヴィーフェリッヒ素数|en|Wieferich prime}}が無限個存在すること |
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: {{harv|Silverman|1988}}。 |
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; 弱い形の{{仮リンク|マーシャル・ホール予想|en|Marshall Hall's conjecture}} |
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: [[平方数]]と[[立方数]]の間隔に関する予想 {{harv|Nitaj|1996}}。 |
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; [[フェルマー=カタラン予想]] |
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: フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う {{harv|Pomerance|2008}}。 |
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; [[ルジャンドル記号]]を用いて記述した[[ディリクレのL関数]] ''L''(''s'', (-''d''/.)) が{{仮リンク|ジーゲル零点|en|Siegel zero}}を持たないこと |
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: 正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、[[代数体]]上の一様なABC予想を用いる{{harv|Granville|Stark|2000}}。 |
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; Schinzel–Tijdeman theorem |
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: {{mvar|P}} を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、{{math2|''P''(1),''P''(2),''P''(3), …}} の中には高々有限個しか[[累乗数]]が存在しない、という定理 (1976)<ref name="Ref_a">{{PDFlink|[https://web.archive.org/web/20060924082259/http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf The ABC-conjecture (Frits Beukers, 9 september 2005)]}}</ref>。 |
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; {{仮リンク|ティーデマンの定理|en|Tijdeman's theorem}}の一般化 |
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: {{math|1=''y{{sup|m}}'' = ''x{{sup|n}}'' + ''k''}} が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は {{math|1=''k'' = 1}} の場合を述べている。また、{{math|1=''Ay{{sup|m}}'' = ''Bx{{sup|n}}'' + ''k''}} が持つ解の個数に関する予想は、ピライ予想 (1931)と呼ばれる。 |
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; {{仮リンク|グランヴィル=ランジュバン予想|en|Granville–Langevin conjecture}}<!-- リダイレクト先の「[[:en:Abc conjecture]]」は、[[:ja:ABC予想]] とリンク -->と同値 |
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; 修正した[[スピロ予想]] |
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: これは境界として <math>\scriptstyle (\operatorname{rad}(abc))^{\frac{6}{5} +\varepsilon}</math> を与える {{harv|Oesterlé|1988}}。 |
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; 一般化された[[ブロカールの問題]] |
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: 任意の整数 {{mvar|A}} について、{{math|1=''n''! + ''A'' = ''k''{{sup|2}}}} が有限個の解しか持たないこと。{{harv|Dąbrowski|1996}}と同値。 |
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== コンピューティング(演算)による成果 == |
== コンピューティング(演算)による成果 == |
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|14,482,059||2,352,105||449,194||24,013||1,843||160 |
|14,482,059||2,352,105||449,194||24,013||1,843||160 |
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|} |
|} |
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{{As of|2012|9}}、ABC@homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 10{{sup|20}} を超えない {{mvar|c}} についての全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を見つけることとしている<ref name="Ref_c">{{Cite web|url=http://abcathome.com/data/|title=Data collected sofar|website=ABC At Home|accessdate=2012-09-10|archiveurl=https://web.archive.org/web/20121004151051/http://abcathome.com/data/|archivedate=2012-10-04}}</ref> |
{{As of|2012|9}}、ABC@homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 10{{sup|20}} を超えない {{mvar|c}} についての全ての abc-triple {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} を見つけることとしている<ref name="Ref_c">{{Cite web|url=http://abcathome.com/data/|title=Data collected sofar|website=ABC At Home|accessdate=2012-09-10|archiveurl=https://web.archive.org/web/20121004151051/http://abcathome.com/data/|archivedate=2012-10-04}}</ref>。 |
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{|class="wikitable sortable mw-collapsible" border="1" |
{|class="wikitable sortable mw-collapsible" border="1" |
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|+質の大きいabc-triple<ref>{{Cite web|url=http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=2|title=Bart de Smit / ABC triples / by quality|work=Reken mee met ABC|date=2005-08-01|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
|+質の大きいabc-triple<ref>{{Cite web|url=http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=2|title=Bart de Smit / ABC triples / by quality|work=Reken mee met ABC|date=2005-08-01|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
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|1.5679||1||2·3{{sup|7}}||5{{sup|4}}·7||Benne de Weger |
|1.5679||1||2·3{{sup|7}}||5{{sup|4}}·7||Benne de Weger |
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|} |
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2015年に、ABC@homeプロジェクトは合計2380万組の3つ組を見つけ、その直後にプロジェクトは終了した<ref>{{Cite web |title=Bart de Smit - ABC triples |url=https://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=1 |website=www.math.leidenuniv.nl |access-date=2022-07-30}}</ref> |
2015年に、ABC@homeプロジェクトは合計2380万組の3つ組を見つけ、その直後にプロジェクトは終了した<ref>{{Cite web |title=Bart de Smit - ABC triples |url=https://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=1 |website=www.math.leidenuniv.nl |access-date=2022-07-30}}</ref>。 |
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== 脚注 == |
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{{Notelist|refs= |
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{{Efn|name="壱"|例として、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 3{{sup|2''n''}} − 1}}, {{math|''c'' {{=}} 3{{sup|2''n''}}}}のとき、全ての {{mvar|n}} について {{math|rad(''abc'') < 3''c''/4}} が成り立つ。また、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 3{{sup|2{{sup|''n''}}}} − 1}}, {{math|''c'' {{=}} 3{{sup|2{{sup|''n''}}}}}}のとき、全ての {{mvar|n}} について {{math|rad(''abc'') < 3''c''/2{{sup|''n''+1}}}}が成り立つ。}} |
{{Efn|name="壱"|例として、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 3{{sup|2''n''}} − 1}}, {{math|''c'' {{=}} 3{{sup|2''n''}}}}のとき、全ての {{mvar|n}} について {{math|rad(''abc'') < 3''c''/4}} が成り立つ。また、{{math|''a'' {{=}} 1}}, {{math|''b'' {{=}} 3{{sup|2{{sup|''n''}}}} − 1}}, {{math|''c'' {{=}} 3{{sup|2{{sup|''n''}}}}}}のとき、全ての {{mvar|n}} について {{math|rad(''abc'') < 3''c''/2{{sup|''n''+1}}}}が成り立つ。}} |
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{{Efn|name="弐"|なお、{{math|''c'' {{=}} rad(''abc'')}} すなわち {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} 1 }} となるような abc-triple は |
{{Efn|name="弐"|なお、{{math|''c'' {{=}} rad(''abc'')}} すなわち {{math|''q''(''a'', ''b'', ''c'') {{=}} 1 }} となるような abc-triple は (1, 1, 2) という1組だけがあるが、予想自体には支障をきたさない。}} |
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{{Efn|name="フェルマー"|ABC予想が正しければ、[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な自然数 {{math2|''A'', ''B'', ''C''}} が {{math|1=''A'' + ''B'' = ''C''}} を満たすとき {{math|1=''C'' < (rad ''ABC''){{sup|2}}}} が成り立つ。互いに素な自然数 {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} が {{math|1=''a{{sup|n}}'' + ''b{{sup|n}}'' = ''c{{sup|n}}''}} を満たすと仮定すると、{{math2|''a{{sup|n}}'', ''b{{sup|n}}'', ''c{{sup|n}}''}} は互いに素より、{{math|1=''A'' = ''a{{sup|n}}''}}, {{math|1=''B'' = ''b{{sup|n}}''}}, {{math|1=''C'' = ''c{{sup|n}}''}} を代入して |
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{{Efn|name="参"|この主張と元のABC予想の主張の間に論理的な強弱関係はない。すなわち、ABC予想の主張の一部が弱められ、一部が強められている。この主張は[[:en:Abc_conjecture]]では「an effective form of a weak version of the abc conjecture」(ABC予想の弱いバージョンの[[数論の有効な結果|有効]]な形(の一種))として言及されている。}} |
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{{Efn|name="フェルマー"|ABC予想が {{math|1=''K'' = 1}} かつ {{math|1=''ε'' = 1}} で正しければ、[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な自然数 {{math2|''A'', ''B'', ''C''}} が {{math|1=''A'' + ''B'' = ''C''}} を満たすとき {{math|1=''C'' < (rad ''ABC''){{sup|2}}}} が成り立つ。互いに素な自然数 {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} が {{math|1=''a{{sup|n}}'' + ''b{{sup|n}}'' = ''c{{sup|n}}''}} を満たすと仮定すると、{{math2|''a{{sup|n}}'', ''b{{sup|n}}'', ''c{{sup|n}}''}} は互いに素より、{{math|1=''A'' = ''a{{sup|n}}''}}, {{math|1=''B'' = ''b{{sup|n}}''}}, {{math|1=''C'' = ''c{{sup|n}}''}} を代入して |
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:<math>c^n <(\operatorname{rad} a^n b^n c^n )^2</math> |
:<math>c^n <(\operatorname{rad} a^n b^n c^n )^2</math> |
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が成り立つ。一般に <math>\operatorname{rad} (x^n) = \operatorname{rad} (x) \le x</math> であるから、<math>(\operatorname{rad} (a^n b^n c^n) )^2 \le (abc)^2 < (c^3)^2 = c^6</math> となる。ゆえに {{math|''c{{sup|n}}'' < ''c''{{sup|6}}}}, {{math|''c'' > 1}} より {{math|''n'' < 6}}。{{math|1=''n'' = 3, 4, 5}} については古典的な証明があるので定理が証明される{{harv|山崎|2010|p=11}}。}} |
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}} |
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=== 出典 === |
=== 出典 === |
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{{Reflist|refs= |
{{Reflist|refs= |
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<ref name="Preprint">{{Cite web |
<ref name="Preprint">{{Cite web|和書|title=京都大学数理解析研究所 - プレプリント -|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/preprint/preprint_y2012.html |website=www.kurims.kyoto-u.ac.jp |accessdate=2021-04-17}}</ref> |
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<ref name="Mochizuki_a">{{Cite journal|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf|title=Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters.|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink=望月新一|format=PDF|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
<ref name="Mochizuki_a">{{Cite journal|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf|title=Inter-universal Teichmüller Theory I: Construction of Hodge Theaters.|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink=望月新一|format=PDF|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
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<ref name="Mochizuki_b">{{Cite journal|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf|title=Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink=望月新一|format=PDF|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
<ref name="Mochizuki_b">{{Cite journal|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20II.pdf|title=Inter-universal Teichmüller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink=望月新一|format=PDF|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
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<ref name="Mochizuki_d">{{Cite journal|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf|title=Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink=望月新一|format=PDF|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
<ref name="Mochizuki_d">{{Cite journal|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf|title=Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink=望月新一|format=PDF|accessdate=2021-03-05}}</ref> |
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<ref name="Scholze_Stix">{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/files/why_abc_is_still_a_conjecture.pdf|title=why abc is still a conjecture|accessdate=2021/11/13}}</ref> |
<ref name="Scholze_Stix">{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/files/why_abc_is_still_a_conjecture.pdf|title=why abc is still a conjecture|accessdate=2021/11/13}}</ref> |
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<ref name="Mochizuki_x">{{Cite web|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Rpt2018.pdf|title=REPORT ON DISCUSSIONS, HELD DURING THE PERIOD MARCH 15 – 20, 2018, CONCERNING|accessdate=2021/11/13}}</ref> |
<ref name="Mochizuki_x">{{Cite web|和書|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Rpt2018.pdf|title=REPORT ON DISCUSSIONS, HELD DURING THE PERIOD MARCH 15 – 20, 2018, CONCERNING|accessdate=2021/11/13}}</ref> |
||
<ref name="Mochizuki_y">{{Cite web|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf|title=ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL TEICHM ̈ULLER THEORY IN TERMS OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨”|accessdate=2021/11/13}}</ref> |
<ref name="Mochizuki_y">{{Cite web|和書|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Essential%20Logical%20Structure%20of%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf|title=ON THE ESSENTIAL LOGICAL STRUCTURE OF INTER-UNIVERSAL TEICHM ̈ULLER THEORY IN TERMS OF LOGICAL AND “∧”/LOGICAL OR “∨”|accessdate=2021/11/13}}</ref> |
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<ref name="Mochizuki_z">{{Cite web|title=EMS Press {{!}} Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences Vol. 57, No. 1/2|url=https://ems.press/journals/prims/issues/1507|website=ems.press|accessdate=2021-11-13|language=en}}</ref> |
<ref name="Mochizuki_z">{{Cite web|title=EMS Press {{!}} Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences Vol. 57, No. 1/2|url=https://ems.press/journals/prims/issues/1507|website=ems.press|accessdate=2021-11-13|language=en}}</ref> |
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<ref name="Scholze">https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf</ref> |
<ref name="Scholze">https://zbmath.org/pdf/07317908.pdf</ref> |
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{{Refbegin}} |
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* {{Cite journal|和書|first=隆雄|last=山崎|title=フェルマー予想とABC予想|journal=[[数学セミナー]]|year=2010|month=10|url=https://drive.google.com/file/d/0B1ul2QgjY2eqczQ3eUFUZ0h0ZTA/view|format=PDF|accessdate=2021-03-28|ref=harv}}<!-- 山崎隆雄のホームページより http://www.math.tohoku.ac.jp/people/ytakao.html --> |
* {{Cite journal|和書|first=隆雄|last=山崎|title=フェルマー予想とABC予想|journal=[[数学セミナー]]|year=2010|month=10|url=https://drive.google.com/file/d/0B1ul2QgjY2eqczQ3eUFUZ0h0ZTA/view|format=PDF|accessdate=2021-03-28|ref=harv}}<!-- 山崎隆雄のホームページより http://www.math.tohoku.ac.jp/people/ytakao.html --> |
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* {{Cite journal|和書|author=[[野口潤次郎]] |title=ネヴァンリンナ理論とイロハ(abc-)予想 (解析的整数論の新しい展開) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=[[数理解析研究所|京都大学数理解析研究所]] | |
* {{Cite journal|和書|author=[[野口潤次郎]] |title=ネヴァンリンナ理論とイロハ(abc-)予想 (解析的整数論の新しい展開) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=[[数理解析研究所|京都大学数理解析研究所]] |date=2002-07 |issue=1274 |pages=70-76 |naid=110000166532 |url=https://hdl.handle.net/2433/42249 |CRID=1520572359986641664 |ref=harv}} |
||
* {{Cite web|author=田口雄一郎|title=abc予想の話|url=http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/abc.html|website=東京工業大学 理学院 数学系|accessdate=2021-03-05}} |
* {{Cite web|和書|author=田口雄一郎|title=abc予想の話|url=http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/abc.html|website=東京工業大学 理学院 数学系|accessdate=2021-03-05}} |
||
* {{Cite book|last=Baker|first=Alan|authorlink=アラン・ベイカー|chapter=Logarithmic forms and the ''abc''-conjecture|editor-last=Győry|editor-first=Kálmán|title=Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996|location=Berlin|publisher=de Gruyter|pages=37-44|year=1998|isbn=978-3110153644|zbl=0973.11047|language=en|ref=harv}} |
* {{Cite book|last=Baker|first=Alan|authorlink=アラン・ベイカー|chapter=Logarithmic forms and the ''abc''-conjecture|editor-last=Győry|editor-first=Kálmán|title=Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996|location=Berlin|publisher=de Gruyter|pages=37-44|year=1998|isbn=978-3110153644|zbl=0973.11047|language=en|ref=harv}} |
||
* {{Cite book|first1=Enrico|last1=Bombieri|authorlink1=エンリコ・ボンビエリ|first2=Walter|last2=Gubler|authorlink2=:de:Walter Gubler|title=Heights in Diophantine Geometry|series=New Mathematical Monographs|volume=4|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2006|isbn=978-0-521-71229-3|zbl=1130.11034|doi=10.2277/0521846153|language=en|ref=harv}} |
* {{Cite book|first1=Enrico|last1=Bombieri|authorlink1=エンリコ・ボンビエリ|first2=Walter|last2=Gubler|authorlink2=:de:Walter Gubler|title=Heights in Diophantine Geometry|series=New Mathematical Monographs|volume=4|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2006|isbn=978-0-521-71229-3|zbl=1130.11034|doi=10.2277/0521846153|language=en|ref=harv}} |
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* [[数学上の未解決問題]] |
* [[数学上の未解決問題]] |
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* [[ABC@home]] |
* [[ABC@home]] |
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* [[Berkeley Open Infrastructure for Network Computing]] |
* [[Berkeley Open Infrastructure for Network Computing]](BOINC) |
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* {{仮リンク|n予想|en|n conjecture}}(ABC予想の一般化) |
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* {{仮リンク|n予想|en|n conjecture}}(abc予想の一般化) |
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== 外部リンク == |
== 外部リンク == |
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{{Normdaten}} |
{{Normdaten}} |
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{{デフォルトソート:ABCよそう}} |
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[[Category:数論]] |
[[Category:数論]] |
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[[Category:数論幾何]] |
[[Category:数論幾何]] |
2024年9月23日 (月) 16:20時点における最新版
分野 | 数論 |
---|---|
提出者 | デイヴィッド・マッサー |
提出時期 | 1985年 |
同等なもの | スピロ予想 |
結果 |
ビール予想 ファルティングスの定理 フェルマーの最終定理 フェルマー=カタラン予想 トゥエ・ジーゲル・ロスの定理 |
ABC予想(エービーシーよそう、英語: abc conjecture)あるいはオステルレ=マッサー予想(英語: Oesterlé–Masser conjecture)[1][2]は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより提起された数論の予想である。類似するものに多項式についてのメーソン・ストーサーズの定理がある。
ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから、非常に有名になった。数論における数多の有名な予想や定理がABC予想から直ちに導かれる。
ドリアン・モリス・ゴールドフェルドは、ABC予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であると述べている[3]。
予想
[編集]一般に「ABC予想」と呼ばれている未解決問題には、
- 不等式 c > (rad(abc))1 + ε を満たす abc-triple が無限組存在するような正の実数 ε > 0 は存在しない。
- 不等式 c ≧ (rad(abc))2 を満たす abc-triple は存在しない。
という2種類の命題が存在するが、これら2つの間に論理的な強弱関係があるわけではない。すなわち、互いに主張の一部が弱められ、一部が強められている。ただし、フェルマーの最終定理の証明に使うことができるのは、2のみである。
以降、この節では、1のABC予想について詳しく解説する。
2以上の自然数 n に対して、n の素因数のうち相異なるものの積 rad (n) (すなわち n を素因数分解したときに現れる各素数の指数をすべて1に置き換えて乗算した数。 n の根基(英: radical)と呼ばれる。)を与える関数 rad のことを根基関数(英: radical function)という。以下にいくつか例を挙げる。
- p が素数ならば、rad(p) = p
- rad(8) = rad(23) = 2
- rad(9405) = rad(32 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 19) = 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ⋅ 19 = 3135
- rad(84998144) = rad(211 ⋅ 73 ⋅ 112) = 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 154
a + b = c であり、かつ a と b が互いに素であるような自然数の組 (a, b, c) を abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は c < rad(abc) が成り立つが、ABC予想が言及しているのはこれが成り立たない abc-triple(例えば、a = 1, b = 8, c = 9 のとき、rad(abc) = 6 である)のほうである。
ただし、c > rad(abc) が成り立つ abc-triple も無限に存在する[注釈 1][注釈 2]ため、rad(abc) を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわちABC予想は、次の不等式を満たすような自然数の組 (a, b, c) は、任意の正の実数 ε > 0 に対して高々有限個しか存在しないであろうと予想している:
ABC予想の定式化には、これ以外にもいくつか同値な表現が存在する。
- 任意の abc-triple (a, b, c) に対して、以下の命題が成り立つ:
- を満たす正の実数 K(ε) > 0 が、任意の正の実数 ε > 0 に対して存在する( K(ε) を ε に依らずに取ることは不可能)。
- 質 q(a, b, c) を次のように定義する ( q は quality の頭文字):
- このとき、q(a, b, c) > 1 + ε を満たす abc-triple は、任意の正の実数 ε > 0 に対して高々有限組しか存在しない。
現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述のコンピューティングによる成果の通り3組しか知られていない。
証明
[編集]1985年の予想の提起から、数々の数学者によりABC予想の証明が提案されてきた。しかし、2024年現在、数学コミュニティの同意が得られたものはない[4][5]。
望月新一による証明
[編集]京都大学数理解析研究所教授の望月新一は、2012年8月30日、宇宙際タイヒミュラー理論と呼ばれる理論についての論文を、自身が所属する京都大学数理解析研究所編集の専門誌『Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences』(以下『PRIMS』)に投稿し、初稿が同誌のプレプリントで公開された[6][7][8][9][10]。望月は、自身が考案した同理論によって、スピロ予想、ヴォイタ予想およびABC予想の証明に成功したと主張している。
上記の証明に対し、ドイツの数学者ペーター・ショルツェ、ジェイコブ・スティックスは、論文IUTT-IIIの系3.12[11]の証明の反例となるレポート[12]にて「提案された〔望月のプレプリントの〕証明には深刻な問題があり、小さな修正で証明戦略を救うことはできず、証明になっていない。」と指摘した(2018年5月公開、2018年9月一部修正)。この指摘に対して望月は、反例において宇宙際タイヒミュラー理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化がことごとく誤りであると主張するレポート[13][14]を公表し反論した(2018年9月発表、2021年3月改訂)。
望月の証明論文は2020年2月に査読を通過し[注釈 3]、2021年3月4日、雑誌『PRIMS』の特別号電子版に掲載された[15]。
上記論文に対し、ショルツェは2021年7月31日にzbMATH(ヨーロッパ数学会)に掲載された書評にて「このシリーズの最初の3つのパートにおいて、読者は残念ながら実質的な数学的内容をほんの少ししか見出さないだろう。第2部と第3部では、肝心の系3.12に、数行以上の証明を見出さないだろう。」[16]と否定的にコメントした。一方、モハメド・サイディ[注釈 4]は2022年4月にMath Reviews誌(アメリカ数学会)に掲載された書評で、宇宙際タイヒミュラー理論の系3.12に関連する論文IUTT-IIIの定理3.11を肯定するコメントを行った[18]。
2022年7月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月らの査読論文が『Kodai Mathematical Journal』(東京工業大学)に掲載された[19](受理は2021年11月)。この論文は、楕円曲線の6等分点を用いて、ディオファントス的不等式中の定数の数値を明示した形(非明示的な「定数」が現れない)に修正したものである。2012年10月のヴェッセリン・ディミトロフ[注釈 5]とアクシェイ・ヴェンカテシュによる指摘[注釈 6]により、望月の論文で証明される命題は「弱いABC予想」となっていたが、今回の結果により「強いABC予想」およびフェルマーの最終定理の別証明を得たとしている。
得られる結果の例
[編集]ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。
ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。具体的には、「有限個に限定される」ことが結論である命題(予想)を証明するのに役立つことが多い。
- トゥエ=ジーゲル=ロスの定理
- 代数的数のディオファントス近似に関する定理。
- フェルマーの最終定理
- ただし指数が 6 以上の場合。この定理自体は、ABC予想とは独立にアンドリュー・ワイルズが既に1995年に証明した。有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である(Granville & Tucker 2002)[注釈 7]。
- モーデル予想(ファルティングスの定理)
- (Elkies 1991)
- エルデシュ=ウッズ予想
- ただし有限個の反例を除く (Langevin 1993)。
- 非ヴィーフェリッヒ素数が無限個存在すること
- (Silverman 1988)。
- 弱い形のマーシャル・ホール予想
- 平方数と立方数の間隔に関する予想 (Nitaj 1996)。
- フェルマー=カタラン予想
- フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う (Pomerance 2008)。
- ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がジーゲル零点を持たないこと
- 正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、代数体上の一様なABC予想を用いる(Granville & Stark 2000)。
- Schinzel–Tijdeman theorem
- P を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、P(1),P(2),P(3), … の中には高々有限個しか累乗数が存在しない、という定理 (1976)[21]。
- ティーデマンの定理の一般化
- ym = xn + k が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は k = 1 の場合を述べている。また、Aym = Bxn + k が持つ解の個数に関する予想は、ピライ予想 (1931)と呼ばれる。
- グランヴィル=ランジュバン予想と同値
- 修正したスピロ予想
- これは境界として を与える (Oesterlé 1988)。
- 一般化されたブロカールの問題
- 任意の整数 A について、n! + A = k2 が有限個の解しか持たないこと。(Dąbrowski 1996)と同値。
コンピューティング(演算)による成果
[編集]2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステム「ABC@homeプロジェクト」を立ち上げた。たとえ演算によって発見された例または反例が ABC予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。
q は上記で定義した abc-triple (a, b, c) の質 q(a, b, c) である。このとき、c の上限によって、質 q は以下のような分布を取る。
cの値 | q > 1 | q > 1.05 | q > 1.1 | q > 1.2 | q > 1.3 | q > 1.4 |
---|---|---|---|---|---|---|
c < 102 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
c < 103 | 31 | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
c < 104 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
c < 105 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
c < 106 | 1,268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
c < 107 | 3,499 | 1,669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
c < 108 | 8,987 | 3,869 | 1,801 | 384 | 98 | 25 |
c < 109 | 22,316 | 8,742 | 3,693 | 706 | 144 | 34 |
c < 1010 | 51,677 | 18,233 | 7,035 | 1,159 | 218 | 51 |
c < 1011 | 116,978 | 37,612 | 13,266 | 1,947 | 327 | 64 |
c < 1012 | 252,856 | 73,714 | 23,773 | 3,028 | 455 | 74 |
c < 1013 | 528,275 | 139,762 | 41,438 | 4,519 | 599 | 84 |
c < 1014 | 1,075,319 | 258,168 | 70,047 | 6,665 | 769 | 98 |
c < 1015 | 2,131,671 | 463,446 | 115,041 | 9,497 | 998 | 112 |
c < 1016 | 4,119,410 | 812,499 | 184,727 | 13,118 | 1,232 | 126 |
c < 1017 | 7,801,334 | 1,396,909 | 290,965 | 17,890 | 1,530 | 143 |
c < 1018 | 14,482,059 | 2,352,105 | 449,194 | 24,013 | 1,843 | 160 |
2012年9月[update]、ABC@homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 1020 を超えない c についての全ての abc-triple (a, b, c) を見つけることとしている[23]。
現在番号 | q | a | b | c | 発見者 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1.6299 | 2 | 310·109 | 235 | Eric Reyssat |
2 | 1.6260 | 112 | 32·56·73 | 221·23 | Benne de Weger |
3 | 1.6235 | 19·1307 | 7·292·318 | 28·322·54 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski |
4 | 1.5808 | 283 | 511·132 | 28·38·173 | Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj |
5 | 1.5679 | 1 | 2·37 | 54·7 | Benne de Weger |
2015年に、ABC@homeプロジェクトは合計2380万組の3つ組を見つけ、その直後にプロジェクトは終了した[25]。
脚注
[編集]注釈
[編集]- ^ 例として、a = 1, b = 32n − 1, c = 32nのとき、全ての n について rad(abc) < 3c/4 が成り立つ。また、a = 1, b = 32n − 1, c = 32nのとき、全ての n について rad(abc) < 3c/2n+1が成り立つ。
- ^ なお、c = rad(abc) すなわち q(a, b, c) = 1 となるような abc-triple は (1, 1, 2) という1組だけがあるが、予想自体には支障をきたさない。
- ^ 2020年4月に京都大学数理解析研究所の雑誌『PRIMS』の共同編集委員長柏原正樹、玉川安騎男より発表された。
- ^ エクセター大学教授、京都大学数理解析研究所客員教授[17]
- ^ トロント大学数学科助教[20]
- ^ この議論の発端は、MathOverflowの記事 Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture である。
- ^ ABC予想が正しければ、互いに素な自然数 A, B, C が A + B = C を満たすとき C < (rad ABC)2 が成り立つ。互いに素な自然数 a, b, c が an + bn = cn を満たすと仮定すると、an, bn, cn は互いに素より、A = an, B = bn, C = cn を代入して
出典
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参考文献
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関連文献
[編集]- 黒川信重「付録 数論の有名な予想のいくつか (1)abc予想」『リーマン予想の探求 ABCからZまで』 118巻、技術評論社〈知りたい!サイエンス〉、2012年11月30日。ISBN 978-4-7741-5388-9 。2021年3月5日閲覧。
- 黒川信重、小山信也『ABC予想入門』 067巻、PHP研究所〈PHPサイエンス・ワールド新書〉、2013年3月18日。ISBN 978-4-569-81067-6 。2021年3月5日閲覧。
- 黒川信重、小島寛之『21世紀の新しい数学 〜絶対数学、リーマン予想、そしてこれからの数学〜』技術評論社〈知の扉シリーズ〉、2013年7月23日。ISBN 978-4-7741-5829-7 。2021年3月5日閲覧。
- S・ラング「Lecture II abc 予想」『ラング数学を語る』 16巻、細川尋史 訳、シュプリンガー・ジャパン〈シュプリンガー数学リーディングス〉、2009年10月11日(原著2009年)。ISBN 978-4431709084。
- S・ラング「Lecture II abc 予想」『ラング数学を語る』 16巻、細川尋史 訳、丸善出版〈シュプリンガー数学リーディングス〉、2012年1月(原著2009年)。ISBN 978-4-621-06204-3 。2021年3月5日閲覧。 - 上記の新版
- 加藤文元『宇宙と宇宙をつなぐ数学 IUT理論の衝撃』KADOKAWA、2019年4月25日。ISBN 978-4044004170。
関連項目
[編集]- 数学上の未解決問題
- ABC@home
- Berkeley Open Infrastructure for Network Computing(BOINC)
- n予想(ABC予想の一般化)