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移流拡散方程式とは、移流方程式と拡散方程式が組み合わされた、それらよりも一般的な流れを表す2階線型偏微分方程式である。
数学的表現[編集]
物理量φ(t , x )が、速度c で流れ、かつ拡散係数D で拡散する場合の移流拡散方程式は次の式で表される:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\boldsymbol {c}}\phi )=\nabla \cdot (D\nabla \phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffbf555d047f307a85f9e18b8b50875613028b1)
解析解[編集]
1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+c{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=D{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700435796898171429429a733f12ac285e608b06)
については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる[1]。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する:
![{\displaystyle \phi (t,0)=U_{0}(t)={\begin{cases}0&(t<0)\\1&(t\geq 0)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93cf450ab0ab700a1673c16361807c76c93819f8)
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\phi (t,x)<\infty \quad (t\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f857eda523d64cc26fc35b5d9940cd615660eb)
また、初期条件としては次を仮定する:
![{\displaystyle \phi (0,x)=0\quad (x\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342701846e4cb98c3f52260c232c2cf87ead8abf)
(実質的にt > 0, x > 0 の解にのみ興味がある。)
このとき、解は
![{\displaystyle \phi (t,x)={\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {c}{2D}}x\right)\left[\exp \left(-{\frac {c}{2D}}x\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {Dt}}}}(x-ct)\right)+\exp \left({\frac {c}{2D}}x\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {Dt}}}}(x+ct)\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecb7ec9026f7fdc942a841ffae5312eac51614e)
となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。
定常解[編集]
上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる[2]。このとき移流拡散方程式は
![{\displaystyle c{\frac {d\phi }{dx}}=D{\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8979a4f2f9d51146b954c47e8abab5740b76e005)
である。x の範囲は区間 [0, L ] 内とし、境界条件として
![{\displaystyle \phi (0)=\phi _{0},\quad \phi (L)=\phi _{L}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609f0c06836baafb50f2da78a98efdb6ddea63a8)
とする。この時の解析解は
![{\displaystyle \phi (x)=\phi _{0}+{\frac {\exp(Pe\cdot x/L)-1}{\exp(Pe)-1}}(\phi _{L}-\phi _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931a5397729fbcf7c8f80563c74542bf317ab959)
ただし
![{\displaystyle Pe:={\frac {cL}{D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923b7abd0ae25fc125b141171773c540da7e9058)
と表される。ここでPe はペクレ数(Péclet number)といい、移流と拡散の比を表す無次元量である。
この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。
参考文献[編集]
- ^ 齋藤大作・星清、1997、移流拡散方程式の解析解(1)、開発土木研究所月報第533号、寒地土木研究所、http://kankyou.ceri.go.jp/houkoku/1997/11.pdf
- ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić 著、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠 訳『コンピュータによる流体力学』シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、61-62頁。ISBN 4-431-70842-1。
関連項目[編集]