第二多項式

数学において多項式列 ${q n (x)}$ が、測度 $ρ$ に関して直交する多項式列 ${p n (x)}$ に付随する^[1]とは、それが

q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}{\mathit {d\rho }}(t)

で定義されることをいう。 ${p n (x)}$ に付随する secondary polynomials（副次多項式列）、 ${p n (x)}$ に対する第二種の直交多項式列 (orthogonal polynomials of the second kind^[2]^[1])とも言う。

$ρ$ に関する各次数のモーメントが有限であるとき、このように与えられる各函数 $q n (x)$ が実際に多項式となることは、単項式 $x k$ $(k = 1, 2, \dots)$ に対して $t k - x k$ が $t - x$ で割り切れることをみればよい^[3]。特に $n$ -次多項式 $p n$ に対して $q n$ は $n - 1$ 次である^[1]。

参考文献

^ ^a ^b ^c Brezinski 1980, p.53
^ [1]
^ [2]Def.5.

Claude Brezinski (1980), Padé-Type Approximation and General Orthogonal Polynomials, International Series of Numerical Mathematics, 50, Basel: Birkhäuser-Verlag

外部リンク

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[Brezinski-1] Brezinski 1980, p.53

[2] [1]

[3] [2]Def.5.

[1]

[2]

[3]

関連項目

参考文献

外部リンク