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重力インスタントン （じゅうりょく - ）とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体 のことである。
リッチ平坦 自己双対 （self-dual）なリーマン曲率テンソル をもつ無限遠で局所的に平坦（asymptotically locally flat）である （しかし実は、2. ならば 1. が言える。）
あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率 が計量 に比例している（いわゆる宇宙定数 がある）ものを言う。
ヤン・ミルズ理論 のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE（Asymptotically Locally Euclidean ）空間とも呼ばれる。
（4次元）重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。
リーマンの曲率テンソルが自己双対
リッチ平坦かつケーラー多様体 （= カラビ・ヤウ多様体 ）
超ケーラー多様体 高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。
重力インスタントンは3次元球面 の左不変な1-形式 をσi i = 1, 2, 3) を用いて書くのが便利であり、それらはオイラー角 を用いて、
σ
1
=
sin
ψ
d
θ
−
cos
ψ
sin
θ
d
ϕ
,
σ
2
=
cos
ψ
d
θ
+
sin
ψ
sin
θ
d
ϕ
,
σ
3
=
d
ψ
+
cos
θ
d
ϕ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi d\theta -\cos \psi \sin \theta d\phi ,\\\sigma _{2}&=\cos \psi d\theta +\sin \psi \sin \theta d\phi ,\\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta d\phi \end{aligned}}}
のように表される。
[ 編集 ] ユークリッド化されたターブ・ナット計量 （英語版 ）
d
s
2
=
1
4
r
+
n
r
−
n
d
r
2
+
r
−
n
r
+
n
n
2
σ
3
2
+
1
4
(
r
2
−
n
2
)
(
σ
1
2
+
σ
2
2
)
{\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}\sigma _{3}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}
によって与えられる。
[ 編集 ] 江口・ハンソン計量 （英語版 ）
d
s
2
=
(
1
−
a
r
4
)
−
1
d
r
2
+
r
2
4
(
1
−
a
r
4
)
σ
3
2
+
r
2
4
(
σ
1
2
+
σ
2
2
)
{\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}
のように表現される。ここで、座標の範囲は r ≥ a 1/4 である。
この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、r → a 1/4 , θ= 0, π のところで錐特異点（conical singularity ）がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、
a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4πa ≠ 0 のときは座標 ψ の周期が 2πとならなければならない。
別の座標系を用いて、
d
s
2
=
1
V
(
x
)
(
d
ψ
+
ω
⋅
d
x
)
2
+
V
(
x
)
d
x
⋅
d
x
{\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} }
と表現されることもある。ここで、
∇
V
=
±
∇
×
ω
,
V
=
∑
i
=
1
2
1
|
x
−
x
i
|
{\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}}
である。
[ 編集 ] ギボンズ・ホーキング計量 （英語版 ） [ 1]
d
s
2
=
1
V
(
x
)
(
d
τ
+
ω
⋅
d
x
)
2
+
V
(
x
)
d
x
⋅
d
x
,
{\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}
と定義され、ここに、
∇
V
=
±
∇
×
ω
,
V
=
ε
+
2
M
∑
i
=
1
k
1
|
x
−
x
i
|
.
{\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}
である。
ϵ
=
1
{\displaystyle \epsilon =1}
ϵ
=
0
{\displaystyle \epsilon =0}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
ϵ
=
0
{\displaystyle \epsilon =0}
k
=
2
{\displaystyle k=2}
^ Gibbons, G. W.; Hawking, S. W., Gravitational Multi-instantons . Phys. Lett. B 78 (1978), no. 4, 430–432; see also Classification of gravitational instanton symmetries . Comm. Math. Phys. 66 (1979), no. 3, 291–310.
Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J., Asymptotically flat selfdual solutions to Euclidean gravity . Phys. Lett. B 74 (1978), no. 3, 249–251; see also Self-dual solutions to Euclidean Gravity . Ann. Physics 120 (1979), no. 1, 82–106 and Gravitational instantons . Gen. Relativity Gravitation 11 (1979), no. 5, 315–320. 
