Hom関手

圏論において、対象の間の射の集合（hom-setともいう）は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手（ほむかんしゅ、英語: Hom functor）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。

定義

C を局所的に小さな圏、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。

Hom (A, _) : C → Set	Hom (_, B) : Cop → Set
共変関手 Hom(A, _) は以下で与えられる： Hom(A, _) は C の各対象 X を集合 Hom(A, X) へ写す。 Hom(A, _) は C の各射 f : X → Y を、$g\mapsto f\circ g$ で定義される写像 Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) へ写す。	反変関手 Hom(_, B) は以下で与えられる： Hom(_, B) は C の各対象 X を集合 Hom(X, B) へ写す。 Hom(_, B) は C の各射 h : X → Y を、$g\mapsto g\circ h$ で定義される写像 Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) へ写す。

関手 Hom(_, B) は、B の点の関手（英語: functor of points）とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _) と Hom(_, B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は g : A → B を f∘g∘h : A' →B' に写す。

上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手$$\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set}$$である。C^op は C の逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、Hom_C (_, _) という記号が使われることもある。

米田の補題

→詳細は「米田の補題」を参照

上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換$$\mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)$$を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換$$\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')$$を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 Set^Cop への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。

内部Hom関手

圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば

$\left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C$

と書かれたり、$${\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C$$と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで

${\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C$

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏と呼ばれる。

閉圏の単位対象を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。$${\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)$$閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、

${\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)$

である。ここで $\otimes$ はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 $Y\Rightarrow Z$ を内部Homと呼ぶ。$\otimes$ がデカルト積 $\times$ であるとき、対象 $Y\Rightarrow Z$ を指数対象と呼び、$Z^{Y}$ と書くこともある。

内部Homは、圏の内部言語と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システムがある。

性質

• 次の形の関手は前層である：$$\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set}$$同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。

• 関手 F : C → Set がある Hom(A, _) と自然に同型であるとき、F は表現可能関手であるという。同様に、Hom(_, A) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。

• 関手 Hom(_, _) : C^op × C → Set は定義からプロファンクタ（英語: Profunctor）であり、特に恒等プロファンクタ ${\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C$ である。

• 内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : C^op → C は C^op の極限（すなわち C の余極限）を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。

• A をアーベル圏、A を A の対象とすると、Hom_A (A, _) は、A からアーベル群の圏 Ab への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である。

• R を環、M を左 R-加群とする。関手 Hom_R (M, _) : Mod-R → Ab は、テンソル積関手 _ ⊗_R M : Ab → Mod-R の右随伴関手である。

関連項目

• Ext関手
• 関手圏
• 表現可能関手

参考文献

• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 
• Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3 2009年11月25日閲覧。 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7 

外部リンク

• Hom functor at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/show/hom-functor
• Internal Hom at n-lab url=http://ncatlab.org/nlab/search?query=Internal+Hom